四川省成都市新都区2022年九年级下学期一诊考试数学试题

试卷更新日期：2022-04-26 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $- \frac{2}{3}$ ， 0，1，-2四个数中，最小的数是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、0 C、1 D、-2

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2. 下列事件中，不是随机事件的是（）．

A、打开电视，中央5套正在播放北京冬奥会赛事 B、“新冠”疫情将在2023年结束 C、抛掷一枚正方体骰子，出现点数7朝上 D、明天会下雨

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3. 2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. $4$ 的算术平方根是（）．

A、2 B、-2 C、±2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 60°角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 2 ， - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， - 4)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， - 4)$

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7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ B、 $a^{2} - 2 a + 1 = a (a - 2) + 1$ C、 $a^{2} - a - 2 = (a + 1) (a - 2)$ D、 ${(a - 3)}^{2} = a^{2} - 6 a + 9$

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8. 已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、1 D、 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{13}$

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9. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其 $\frac{2}{3}$ 的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）

A、 ${\begin{cases} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{cases}$

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10. 如图，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $C$ 在反比例函数 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $B C ∥ y$ 轴， $A C ⊥ B C$ ，垂足为点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $A$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

11. 二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 中字母 $x$ 的取值范围是．

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12. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．

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13. 在一个不透明的布袋中装有18个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是 $\frac{2}{3}$ ，则黑球的个数为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以小于 $A C$ 的长为半径作弧，分别交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，再分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $F$ ，作射线 $A F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，则 $\frac{S_{△ A B G}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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15. 估算：若 $a < \sqrt{73} < b$ ，且 $a$ ， $b$ 为连续的正整数，则 $a =$ ， $b =$ ．

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16. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，将 $△ A B C$ 绕点 $D$ 按顺时针旋转 $α (0 < α < 180 °)$ 后，当点 $B$ 恰好落在初始 $R t △ A B C$ 的边 $A B$ 所在直线上时，那么 $α =$ ．

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17. 如图所示，在一次数学活动课上，初三（1）班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角 $α$ ，把一根长为6.6米的长杆 $A C$ 斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影 $A E$ 的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离 $A B$ 约为2.7米，则倾斜角 $α$ 的正切值约为．（结果精确到0.01，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，记 $A D = m$ 且 $m$ 为正整数．则 $m$ 使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m x - 1}{3 - x} + 4 = \frac{1}{x - 3}$ 有正整数解的概率为．

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，顶点坐标 $(1 ， n)$ ，与 $y$ 轴的交点在 $(0 ， 3)$ ， $(0 ， 4)$ 之间（包含端点），则下列结论正确的有． ① $3 a + b < 0$ ；② $- \frac{4}{3} \leq a \leq - 1$ ；③对于任意实数 $m$ ， $a + b \geq a m^{2} + b m$ 恒成立；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = n + 5$ 有两个不相等的实数根．（填编号）

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三、解答题

20.

(1)、计算： $\sqrt[3]{- 27} + 2 t a n 60 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + | 2 \sqrt{3} - 5 |$ ．

(2)、求不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 (x - 3) \leq 8 \\ \frac{1 + x}{2} > \frac{2 x}{3} \end{array}$ 的非负整数解．

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21. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = - 1 + \sqrt{2}$ ．

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22. 我区某学校根据《成都市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“器乐，体锻，科创，书法，美术，课本剧，棋类……”等课程供学生自由选择，半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、表示等级C的扇形的圆心角是度；

(3)、由于学校条件限制，“科创”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．

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23. 2022年冬季奥运会在北京举行，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点 $A$ 出发，途经点 $B$ 后到达终点 $C$ ，其中 $A B = 200 m$ ， $B C = 300 m$ ，且 $A B$ 段的运行路线与水平面的夹角为30°， $B C$ 段的运行路线与水平面的夹角为37°，求从点 $A$ 运行到点 $C$ 垂直上升的高度．（结果保留整数；参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象交于 $A (- 1 ， m)$ ， $B (n ， - 3)$ 两点，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据函数的图象，直接写出不等式 $k x + b \leq - \frac{6}{x}$ 的解集；

(3)、点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，且 $△ B O P$ 的面积等于 $△ A O B$ 面积的2倍，求点 $P$ 的坐标．

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25. 已知四边形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 两点分别在 $A B$ ， $B D$ 上，且满足 $∠ M C N = ∠ B D C$ ．

(1)、如图1，当四边形 $A B C D$ 为正方形时，
①求证： $△ A C M ∽ △ D C N$ ；

②求证： $\sqrt{2} D N + B M = C D$ ；

(2)、如图2，当四边形 $A B C D$ 为菱形时，若 $∠ B A D = 120 °$ ，试探究 $D N$ ， $B M$ ， $C D$ 的数量关系．

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26. 为了更好应对突发疫情，某市政府积极储备防疫物资，将租用甲，乙两种货车共16辆，把医疗器材266吨，生活必需品169吨全部运到应急物资储备中心．已知一辆甲种货车同时可装医疗器材18吨，生活必需品10吨；一辆乙种货车同时可装医疗器材16吨，生活必需品11吨，设租用甲种货车 $x$ 辆．

(1)、若将这批货物一次性运到应急物资储备中心，有哪几种租车方案；

(2)、若甲种货车每辆需付燃油费1500元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，设所付费用为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出哪种租车方案费用最少．

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27. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 是有公共顶点的等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 旋转，点 $P$ 为射线 $B D$ 与 $C E$ 的交点．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $C E$ 上时，求证： $B D = C D + \sqrt{2} A D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，
①如图2，当点 $E$ 在 $B A$ 延长线上时，求 $P C$ 的长；
②在旋转过程中，当四边形 $A D P E$ 为正方形时，直接写出线段 $P B$ 长度的值．

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28. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $A B = 8$ ， $B$ 点横坐标为2，延长矩形 $O B D C$ 的 $D C$ 边交抛物线于 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，若点 $P$ 是直线 $E O$ 上方的抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $E O$ 于点 $M$ ，求 $P M$ 的最大值；

(3)、如图3，如果点 $F$ 是抛物线对称轴 $l$ 上一点，抛物线上是否存在点 $G$ ，使得以 $F$ ， $G$ ， $A$ ， $C$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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