辽宁省鞍山市立山区2022年九年级上学期数学一模试题

试卷更新日期：2022-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 平面直角坐标系内与点 $P (3 ， 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(- 3 ， - 4)$ C、 $(3 ， - 4)$ D、 $(4 ， 3)$

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2. 方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（）

A、1，﹣2 B、3，﹣2 C、3 D、1

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3. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D、E分别是AB和AC的中点， $S_{四边形 B C E D} = 15$ ，则 $S_{Δ A B C} =$ （）

A、30 B、25 C、22.5 D、20

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4. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= $\frac{c}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝ $\sqrt{3}$ ， CE＝1，则弧BD的长是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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6. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图像上，且 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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7. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点D，点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + π}{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2} + π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 2 π}{3}$

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8. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＞0；③关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为3和1；④若点（﹣4，y₁），（﹣2，y₂），（3，y₃）均在二次函数图象上，则y₁＜y₂＜y₃；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 已知二次函数 $y = x^{2} - 3 x + m$ （ $m$ 为常数）的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的两实数根是．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为.

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11. 如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0，4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为.

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12. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为.

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13. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.

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14. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ .若以 $A C$ 所在直线为轴，把 $Δ A B C$ 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于.

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15. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{2}^{3} - 4 x_{1}^{2} + 17$ 的值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A₁OB₁ ，且A₁O＝2AO，再将Rt△A₁OB₁绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A₂OB₂ ，且A₂O＝2A₁O……，依此规律，得到等腰直角三角形A₂₀₂₁OB₂₀₂₁ ，则点B₂₀₂₁的坐标为．

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三、解答题

17. 关于x的一元二次方程x²+（k+3）x+3k＝0．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．

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18. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点， $O$ 为平面直角坐标系的原点，矩形 $O A B C$ 的4个顶点均在格点上，连接对角线 $O B$ ．

⑴在平面直角坐标系内，以原点 $O$ 为位似中心，把 $△ O A B$ 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与 $△ O A B$ 的相似比等于 $\frac{1}{2}$ ；

⑵将 $△ O A B$ 以 $O$ 为旋转中心，逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ，作出 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并求出线段 $O B$ 旋转过程中所形成扇形的周长．

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19. 如图，一次函数 $y = k x - 2 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $C$ 作 $C B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{△ A B C} = 3$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标及 $m$ 的值；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求一次函数的表达式.

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20. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．

(1)、求 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的半径r的长；

(2)、当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．

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21. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C₁：y＝﹣ $\frac{1}{12}$ x²+ $\frac{7}{6}$ x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C₂：y＝﹣ $\frac{1}{8}$ x²+bx+c运动．

(1)、当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C₂的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)、在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F.

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ D F A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $D F$ 的长.

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23. 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC.

(1)、求证：EF是圆O的切线；

(2)、若D是OA的中点，AB=4，求CF的长.

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24. 某商户把一批糖果分装成小袋出售，小袋糖果成本为2.5元/袋，试销发现：每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系y＝﹣20x+190，其中3≤x≤5．

(1)、当销售单价为多少元时，每天销售获得165元的利润？

(2)、设每天所获利润为W元，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

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25. 在 $Δ A B C$ ， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ .点P是平面内不与点A，C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)、观察猜想
如图1，当 $α = 60^{°}$ 时， $\frac{B D}{C P}$ 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)、类比探究
如图2，当 $α = 90^{°}$ 时，请写出 $\frac{B D}{C P}$ 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由.

(3)、解决问题
当 $α = 90^{°}$ 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 $\frac{A D}{C P}$ 的值.

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26. 已知抛物线y＝ax²+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；

(3)、如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．

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