浙江省宁波市（南三县）2022年九年级学业诊断性考试数学试卷（一模）

试卷更新日期：2022-04-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $2 \times (- \frac{1}{2})$ 的结果是（）

A、－4 B、－1 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（）

A、361×10⁶ B、36.1×10⁷ C、0.361×10⁹ D、3.61×10⁸

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(a b^{3})}^{2} = a^{2} b^{6}$ D、 $5 a - 2 a = 3$

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4. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁）
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A、15，16 B、15，15 C、15，15.5 D、16，15

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5. 如图，本题图案属于哪一种变换（）

A、位似 B、旋转 C、轴对称 D、平移

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6. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $B C = 4$ ，下面三个结论：① $D E = 2$ ；② $△ A D E ∽ △ A B C$ ；③ $△ A D E$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积之比为1：4.其中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 分式方程 $\frac{1}{x - 1} = \frac{x}{1 - x} + 2$ 的解为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$

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8. 如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是（）

A、 $12 π$ B、 $15 π$ C、 $20 π$ D、 $25 π$

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9. 将7张如图1的两边长分别为a和b（ $a \geq b$ ， a与b都为正整数）的矩形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形 $A B C D$ 内，矩形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等.设 $\frac{a}{b} = k$ .若 $A B = 3$ ， k为整数，则a可取的值的个数为（）

A、0个 B、4个 C、5个 D、无数个

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10. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ ，将 $△ A C D$ 绕点A顺时针旋转得到 $△ A C^{'} D^{'}$ ，且 $A C^{'}$ 与 $B C$ 交于点E，当点 $D^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时，则 $B E$ 的值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、1 C、 $4 \sqrt{6} - 9$ D、 $4 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 计算： $| - 2022 | =$ .

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12. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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13. 已知5张相同的卡片分别写着数字2，0，2，2，3，将卡片的背面朝上并洗匀，从中任意抽取1张，抽到数字是2的概率为.

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14. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 < 5 \\ 2 x + 6 \geq 0 \end{array}$ 的解集是.

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15. 如图， $△ A O B$ 为等边三角形，点B的坐标为（2，0），过点C（-1，0）作直线 $l$ 交 $A O$ 于点E，交 $A B$ 于点D，点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，当 $△ O C E$ 的面积和 $△ A D E$ 的面积相等时， $k =$ .

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16. 如图，AB是半径为4的 $⊙ O$ 的弦，且AB=6，将AB沿着弦AB折叠，点C是折叠后的 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，连接并延长BC交于点D，点E是CD的中点，连接EO.则EO的最小值为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $202 2^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{4}$

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} 2 x + y = 2 \\ 3 x - y = 10 \end{array}$

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18. 如图，在 $10 \times 10$ 的网格图中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上.

⑴在网格图中画出 $△ A B C$ 的外接圆圆O，并在网格图中标出圆心点O的位置；

⑵在网格图中画出把线段 $A C$ 绕点C按逆时针方向旋转90，得到线段 $C D$ ，并在网格图中标出点D的位置；判断点D是否落在圆O上，若点D落在圆O上，直接写出 $\overset{⌢}{C D}$ 的长.

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19. 为了了解居民的垃圾分类意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展主题为“今天分一分，明天美十分”的知识有奖问答活动（得分为整数，满分为10分，最低分为6分），并用得到的数据绘制成如图所示的两个不完整的统计图（部分信息未给出）：
有奖得分
频数
频率
6
4
0.08
7
a
0.14
8
18
0.36
9
11
0.22
10
10
m
请结合图中信息解决下列问题：

(1)、求本次调查一共抽取了多少名居民；

(2)、求出a、m的值并将条形统计图补充完整；

(3)、社区决定对该小区600名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需要准备多少份“一等奖”奖品？

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20. 如图所示，已知二次函数 $y_{1} = - x^{2} + 2 x + m$ 的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，与y轴的交点为点C.

(1)、求m的值；

(2)、若经过点B的一次函数 $y_{2} = k x + b$ 平分△ $A B C$ 的面积.求k、b的值.

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21. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东20°方向，然后向西走35米到达C点，测得点B在点C的北偏东45°方向.
（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ）

(1)、求 $∠ C B A$ 的度数；

(2)、求这段河的宽度约为多少米.

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22. 小明4岁生日那天父亲种下一颗三毛榉和一颗枫树.当时测得三毛榉高为2.4米，枫树高为0.9米，小明6岁生日那天，测得三毛榉高为2.7米，枫树高为1.5米，现在枫树已经比三毛榉高了，在此期间，三毛榉的高度 $y_{1}$ （米）和枫树的高度 $y_{2}$ （米）与时间 $x$ （年）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

(1)、分别求出 $y_{1} 、 y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(2)、估计小明现在的年龄应超过多少岁?

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23. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”.如图（1）中，若 $∠ P Q R = ∠ P R Q$ ，则直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 称为“等腰三角线”；反之，若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，则 $∠ P Q R = ∠ P R Q$ .

(1)、如图（1），若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（1，4）、（-3，0）.求直线 $P R$ 的解析式；

(2)、如图（2），直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点A、B，点C是双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、 $n (0 < n < m)$ ，直线 $B C$ 、 $A C$ 分别与x轴于点D、E；
①求证：直线 $A C$ 与直线 $B C$ 为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线 $l$ ，在直线 $l$ 上存在一点F，连结 $E F$ ，当 $∠ E F D = ∠ D C A$ 时，求出线段 $D F + E F$ 的值.（用含n的代数式表示）

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24. 如图1，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是线段 $B C$ 上一点，以 $D C$ 为直径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 经过点A.

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如图2，过点A作 $A E ⊥ B C$ 垂足为E，点F是 $⊙ O$ 上任意一点，连结 $E F$ .
①如图2，当点F是 $\overset{⌢}{D C}$ 的中点时，求 $\frac{E F}{B F}$ 的值；

②如图3，当点F是 $⊙ O$ 上的任意一点时， $\frac{E F}{B F}$ 的值是否发生变化？请说明理由.

(3)、在（2）的基础上，若射线 $B F$ 与 $⊙ O$ 的另一交点G，连结 $E G$ ，当 $∠ G E F = 90 °$ 时，直接写出 $| E F - E G |$ 的值.

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年龄（单位：岁）	14	15	16	17	18
人数	1	4	3	2	2

有奖得分	频数	频率
6	4	0.08
7	a	0.14
8	18	0.36
9	11	0.22
10	10	m