江苏省盐城市阜宁县2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = c o s \frac{π}{3} - i s i n \frac{π}{6}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. $s i n 15 ° c o s 135 ° + s i n 45 ° c o s 15 °$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知复数 $z = \frac{2 - 3 i}{2 + 3 i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{C D} = 3 \vec{B D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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6. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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7. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a s i n A = c s i n C + (b - c) s i n B$ ，角A的角平分线交BC于点D，且 $A D = 2 \sqrt{3} ， c = 3 b$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ C、 $3$ D、 $\frac{8 \sqrt{7}}{3}$

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8. 在△ABC中，点M是 $B C$ 上一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B M}$ ， P为 $A M$ 上一点，向量 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C} (λ > 0 ， μ > 0)$ ，则 $\frac{3}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值为（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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二、多选题

9. 已知 $O$ 为坐标原点， $A (3 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ，则（）

A、 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ B、若 $\vec{a} = (1 ， - \frac{1}{2})$ ，则 $\vec{a}$ $/ / \vec{A B}$ C、若 $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则点 $P$ 的坐标为 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{3})$ D、与 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量 $\vec{e} = (- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$

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10. 设 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ 为复数，下列命题中正确的是（）

A、 $\bar{Z_{1} + Z_{2}} = \bar{Z_{1}} + \bar{Z_{2}}$ B、若 $Z_{1} Z_{2} = 0$ ，则 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 中至少有一个是0 C、若 ${Z_{1}}^{2} + {Z_{2}}^{2} = 0$ ，则 $Z_{1} = Z_{2} = 0$ D、 $| Z_{1} Z_{2} | = | Z_{1} | \cdot | Z_{2} |$

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11. 下列各式中，值为 $\sqrt{3}$ 的是（）

A、 $2 c o s^{2} \frac{π}{12} - 2 s i n^{2} \frac{π}{12}$ B、 $\frac{1 + t a n 15 °}{1 - t a n 15 °}$ C、 $4 \sqrt{3} s i n 15 ° s i n 75 °$ D、 $c o s 15 ° - \sqrt{3} s i n 15 °$

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12. △ABC的内角A、B、C的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A = 30 ° ， a = 3 ， b = 4$ ，则△ABC有两解 B、若 $a^{2} t a n B = b^{2} t a n A$ ，则△ABC为直角三角形 C、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ D、若A=60°， $a = 2$ ，则△ABC面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， k)$ ．若 $\vec{a} / / (\vec{b} + 2 \vec{c})$ ，则 $k =$ ．

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14. 若 $α \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ ，则 $\sqrt{1 - s i n α} + \sqrt{1 + s i n α} =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，若 $A M = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 12$ ，则 $B C$ 的边长为．

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对边的分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知边长 $a = 2$ ， $s i n A s i n C - c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3} s i n A c o s C$ ，则A=； $△ A B C$ 周长的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{0} = 2 + 3 i$ ，

(1)、若复数 $z$ 满足 $z z_{0} = 3 z + z_{0}$ ，求 $z$ ；

(2)、若 $z \in C$ ， $| z_{0} | = | z |$ ， $| z_{0} + z | = \sqrt{39}$ ，求 $| z_{0} - z |$ 的值.

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18.

(1)、利用三角公式化简： $c o s 40 ° (1 + \sqrt{3} t a n 10 °)$

(2)、已知 $3 c o s (2 α + β) + 2 c o s β = 0$ ，求 $t a n (α + β) t a n α$

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19. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在同一平面上，且 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$

(1)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = \vec{a} + x \vec{b}$ （其中 $x \in R$ ），当 $| \vec{c} |$ 取最小值时，求向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小.

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20. 已知 $3 s i n α = 2 s i n^{2} \frac{α}{2} - 1$

(1)、求 $s i n 2 α + c o s 2 α$ 的值；

(2)、已知 $α \in (0 ， π)$ ， $β \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $2 t a n^{2} β - t a n β - 1 = 0$ ，求 $α + β$ 的值.

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21. 浙江杭州即将举办2022年亚运会，举办方为给运动员创造温馨舒适的居住环境，进行精心设计.如图，是一个以AB为直径的半圆形湖，AB=8（单位：百米），现在设计一个以AB为边的四边形ABCD，C，D在半圆上，设 $∠ B O C = θ$ （O为圆心）.

(1)、在四边形ABCD内种植荷花，且 $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，当 $θ$ 为何值时，荷花种植面积最大？

(2)、为了显示美感，景观要错落有致的，要沿BC，CD和DA建造观景栈桥，且BC=CD，当 $θ$ 为何值时，观景栈桥总长L最长？并求L的最大值.

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22. 在 $△ A B C$ 中，设 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b s i n C = \sqrt{3} a - \sqrt{3} c c o s B$ ，

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $a + b = 2$ ，求边长 $c$ 的取值范围；

(3)、设 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，若三角形外接圆半径为 $\sqrt{3}$ .且满足 $\vec{A M} \cdot \vec{A O} = 4$ ，求 $a$ 的值.

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