湖北省部分高中联考协作体2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{10 + 12 i}{- i}$ ，则复数 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $10 + 12 i$ B、 $- 12 - 10 i$ C、 $12 + 10 i$ D、 $10 - 12 i$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 3}$ ， $B = {x ∣ (x - 3) (x - a) = 0}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-1或1 C、1或3 D、3

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3. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 的夹角为60º，如果 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - m \vec{b})$ ，那么 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 若 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且 $3 a + b = 1$ .则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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5. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $c o s 2 α + s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 3 t x + 8 t$ ，则“函数 $f (x)$ 的图象恒在 $x$ 轴的下方”是“ $- 2 < t < 0$ ”的（）

A、既不必要又不充分条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、充要条件

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x ⩾ 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ .若 $f (3 + m) + f (3 m - 7) > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 8$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $B C$ ､ $A C$ 边上的两条中线AM､ $B N$ 相交于点 $P$ ，则 $∠ M P N$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{7}$

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二、多选题

9. 若 $1 < m < n$ ，下列不等式成立的是（）

A、 $l o g_{3} m < l o g_{3} n$ B、 $4^{n} < 4^{m}$ C、 $l o g_{m} 3 < l o g_{n} 3$ D、 ${(\frac{1}{4})}^{m} > {(\frac{1}{4})}^{n}$

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10. 理查德·费曼称欧拉恒等式为“数学最美妙的公式”，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它”.欧拉恒等式是： $e^{i π} + 1 = 0$ ，其中自然对数的底数 $e$ ､圆周率 $π$ ､虚数单位 $i$ ､与自然数1和0完美的结合在一起.它是由欧拉公式： $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ (θ \in R)$ ，令 $θ = π$ 得到的，设复数 $z = e^{\frac{7 π i}{6}}$ ，则以下说法正确的是（）

A、复数 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{2}$ B、复数 $z$ 的共轭复数为 $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $| z | = 1$ D、在复平面内与复数 $z$ 对应的点在第四象限

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11. 给出的下列命题中正确的是（）

A、存在每个面都是直角三角形的四面体 B、有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、棱台的各侧棱延长后交于一点 D、如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

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12. 如图， $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 外一点， $M$ 是线段 $C D$ 上靠近 $D$ 的一个三等分点， $N$ 是AD的中点，则下列说法中正确的是（）

A、 $\vec{O D} = \vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C}$ B、 $\vec{A P} = \frac{3}{7} \vec{B C} - \frac{1}{7} \vec{B A}$ C、 $\vec{B P} = \frac{3}{7} \vec{B C} + \frac{6}{7} \vec{B A}$ D、 $\vec{B P} = \frac{3}{7} \vec{B C} + \frac{4}{7} \vec{B A}$

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三、填空题

13. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于 $y$ 轴， $B C$ ， AD平行于 $x$ 轴，已知四边形 $A B C D$ 的面积为 $6 c m^{2}$ ，则原四边形的面积为 $c m^{2}$ .

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14. 已知 $\vec{O A} = (0 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (1 ， 2 k + 1)$ ， $\vec{O C} = (1 - k ， - 5)$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则实数 $k =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $s i n^{2} A + s i n^{2} C + s i n A s i n C = s i n^{2} B$ ，则角B=.

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16. 已知函数 $f (x) = {(\frac{7}{8})}^{x} - 2 c o s^{2} x - s i n 2 x$ ， $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{25 π}{8}]$ 上有个零点.

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四、解答题

17. 已知集合 $M = {x | \frac{6}{x + 2} > 3}$ ， $N = {x | 5 t < x < t + 3}$ .

(1)、当 $t = - 1$ 时，求 $M ∩ N$ ；

(2)、若 $M \subseteq N$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a s i n 2 x - c o s 2 x$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， c o s x)$ ， $\vec{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、请写出函数 $f (x)$ 取最大值､最小值时自变量 $x$ 的集合，并求出函数 $f (x)$ 的最大值､最小值；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $f (A) = 0$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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20. 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 $7.9 \times 1 0^{3} k g / m^{3}$ ）六角螺丝钉共重 $15.8 k g$ .如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为9mm，高为2mm；圆柱的底面半径为6mm，高为10mm.（ $π$ 取 $3.14 . \sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求一个六角螺丝钉的表面积；

(2)、问这堆螺丝钉大约有多少个？

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21. 天门是一座宜居的城市，城区内北湖公园､陆羽公园､东湖公园是人们休闲娱乐的绝佳去处，尤其是东湖公园的摩天轮，更是让人流连忘返.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，摩天轮匀速转动一周需要24分钟，其中心 $O$ 距离地面55米，半径为50米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱.

(1)、游客坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t$ 分钟后距离地面的高度为H米，求在转动一周的过程中，H关于 $t$ 的函数解析式；

(2)、当摩天轮座舱不低于地面高度80米时，游客可以观赏到全园景色.求游客在摩天轮转动一周过程中可观赏到全园景色有多长的时间.

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22. 已知函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，且 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + b}$

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值，并求 $f (x)$ 的值域；

(2)、函数 $g (x)$ 满足 $f (x) [g (x) + 2] = 2^{x} - 2^{- x}$ ，若对任意的 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $g (2 x) \geq m g (x) - 3$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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