河南省郑州市十校2021-2022学年高一下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{{(1 - 2 i)}^{2}}{i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列命题中正确的有（）

A、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B、若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是都是单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为0° D、零向量与任何向量共线

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3. $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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5. 有一个四锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂的侧面积为 $150 c m^{2}$ ；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为 $15 \sqrt{3}$ cm，其中正确的判断是（）

A、①②都正确 B、①错误、②正确 C、①正确、②错误 D、①②都错误

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6. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{3} A B$ ， $\vec{A D} = \vec{B C}$ ，且 $| \vec{A B} + \vec{A D} | = | \vec{A B} - \vec{A D} |$ ，则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C A}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.面积 $S = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{3 s i n A}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 如图1，在高为h的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则容器的高h为（）

A、3 B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、6

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9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则下列错误的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、与向量 $\vec{a}$ 共线且同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\frac{3}{5} \vec{b}$

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10. 在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E M}$ 的值可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、2 D、3

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11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（）

A、若 $a > b$ 、则 $s i n A > s i n B$ B、若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、已知△ABC中， $A = \frac{π}{3}$ ， a＝3， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则△ABC有两解 D、若△ABC是钝角三角形，则 $t a n A \cdot t a n C < 1$

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12. 在△ABC中，D为边AC上的一点，且 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ， P为边BD上的一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ （ $m > 0$ 、 $n > 0$ ），则下列结论正确的（）

A、m＋n＝1 B、mn的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 上的最小值为7 D、 $m^{2} + 9 n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， m) ，且 \vec{a} / / \vec{b} ，则 m =$ ．

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14. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{s i n B}{s i n C} =$ ．

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15. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ B C D = 75 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{2} m$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角 $θ$ 为 $30 °$ ，则塔高 $A B$ 为m．

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16. 如图，已知圆锥PO的底面半径OA的长度为1，母线PA的长度为2，半径为 $R_{1}$ 的球 $O_{1}$ 与的圆锥侧面相切，并与底面相切于点O，若球 $O_{2}$ 与球 $O_{1}$ 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 $O_{2}$ 的表面积为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z = （ 2 m^{2} - 3 m - 2 ） + （ m^{2} - 3 m + 2 ） i$ ．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
（Ⅱ）当 $m = 0$ 时，化简 $\frac{z^{2}}{z + 5 + 2 i}$ ．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点 $(A F = \frac{1}{3} A D ， B G = \frac{1}{3} B C)$ .设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{E F} ， \vec{E G}$ ；

(2)、如果 $| \vec{b} | = \frac{3}{2} | \vec{a} |$ ， EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1) ， \vec{b} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求与 $\vec{a}$ 平行的单位向量 $\vec{c}$ ；

(2)、设 $\vec{x} = \vec{a} + (t^{2} + 3) \vec{b} ， \vec{y} = - k \cdot t \vec{a} + \vec{b}$ ，若存在 $t \in [0 ， 2]$ ，使得 $\vec{x} ⊥ \vec{y}$ 成立，求k的取值范围.

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20. 在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 $\vec{a} = (2 a ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (c ， s i n C)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ．

(1)、求角A

(2)、若c＝2，且△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求AC边上的中线BM的大小．

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21. 某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）
（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？
（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？
注： $\sqrt{0.1} \approx 0.32$ ，结果精确到0.01．

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $(2 a + c) \cdot \vec{B C} \cdot \vec{B A} + c \cdot \vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围.

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