河南省南阳市六校2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. “ $α$ 是第一象限角”是“ $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象的一条对称轴是（）

A、 $x = - \frac{π}{3}$ B、 $x = \frac{π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{4}$ D、 $x = \frac{π}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ， $\vec{c} = (k ， 4)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ∥ \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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4. 毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 $1050 k m$ ，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 $\frac{π}{3} r a d$ ，昆仑站运动的路程约为（）

A、 $2200 k m$ B、 $1650 k m$ C、 $1100 k m$ D、 $550 k m$

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5. 对于平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，下列叙述正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \pm \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq 1$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$

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6. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 C D$ ， $\vec{B C} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ - μ =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 25$ ， $b = 30$ ， $A = 42 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、有两解 C、有一解 D、有无数解

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8. 已知角 $θ$ 以坐标原点为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，终边经过点 $(2 a - 1 ， a + 2)$ ，且 $c o s θ = \frac{3}{5}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $- \frac{2}{11}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，已知 $s i n A = s i n B c o s C$ ，则（）

A、 $A = 90 °$ B、B=90° C、 $A C = B C$ D、 $A B = A C$

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10. 已知角 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且 $t a n^{2} α - 3 t a n α s i n α - 4 s i n^{2} α = 0$ ，则 $c o s (α + 2021 π) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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11. 由于潮汐，某港口一天24h的海水深度H（单位： $m$ ）随时间t（单位：h， $0 \leq t < 24$ ）的变化近似满足关系式 $H (t) = 12 + 4 s i n (\frac{π}{12} t - \frac{2 π}{3})$ ，则该港口一天内水深不小于10 $m$ 的时长为（）

A、12h B、14h C、16h D、18h

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12. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $(0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{2}]$ 内恰有3个零点，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{3}] ∪ {\frac{5 π}{12}}$ B、 $[0 ， \frac{π}{3}) ∪ {\frac{5 π}{12}}$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}) ∪ (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{6}] ∪ [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$

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二、填空题

13. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| 4 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期是π，且 $f (x)$ 的图象过点 $(\frac{π}{12} ， 1)$ ，则 $f (x)$ 的图象的对称中心坐标为.

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15. 如图所示， $O A$ 是一座垂直与地面的信号塔，O点在地面上，某人（身高不计）在地面的C处测得信号塔顶 $A$ 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进 $20 m$ 到点D处，测得塔顶 $A$ 的仰角为30°，则塔高 $O A$ 为 $m$ .

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16. 在 $R t △ A B C$ 中， $C A ⊥ C B$ ， $A B = 1$ ，点D为边AB的中点，则 $(\vec{B A} \cdot \vec{B C}) (\vec{C A} \cdot \vec{C D})$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ， $(\vec{a} + \frac{5}{2} \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ .

(1)、求 $| \vec{a} |$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角.

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18. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19.

(1)、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $(- 1 ， 2)$ ，求 $\frac{s i n α - c o s α}{s i n α + c o s α}$ 的值；

(2)、若 $s i n β$ 是方程 $5 x^{2} - 7 x - 6 = 0$ 的根，求 $\frac{s i n (β - π) c o s (\frac{3 π}{2} + β) t a n (π + β)}{t a n (- β - π) s i n (- π - β)}$ 的值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s A s i n C = 2 s i n A s i n B$ ， $c = 2 b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $a^{2}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为4，且满足 $f (\frac{1}{2} + x) = - f (\frac{1}{2} - x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、是否存在实数 $m \in [0 ， 2]$ 满足 $f (2 m - \frac{1}{2}) > f (m - 1)$ ？若存在，请求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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22. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，D是边 $B C$ 的中点， $E$ 是线段 $A D$ 的中点.过点E的直线与边 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $P$ ， $Q$ .设 $\vec{P B} = λ \vec{A P}$ ， $\vec{Q C} = μ \vec{A Q}$ ， $λ$ ， $μ \geq 0$ .

(1)、化简： $2 \vec{E A} + \vec{E B} + \vec{E C}$ ；

(2)、求证： $λ + μ$ 为定值；

(3)、设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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