广东省广州市八校联考2021-2022学年高一下学期数学期中（A卷）试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 + 2 i) z = 5 \bar{z} - 10 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 设 $α$ ， $β$ 为两个平面，则 $α / / β$ 的充要条件是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与 $β$ 平行 B、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ ， $β$ 垂直于同一平面

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3. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则下列说法不正确的是（）

A、 $B D ⊥ C P$ B、三棱锥 $C - B P D$ 的体积为定值 C、平面 $P A C ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ D、 $B P + D P$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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4. 已知 $△ A B C$ 外接圆圆心为 $O$ ，半径为 $1$ ， $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $\sqrt{3} | \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影为（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$

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5. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若 $| z + 1 | = 1$ ，则点Z的集合为以 $(1 ， 0)$ 为圆心，1为半径的圆 C、若 $1 \leq | z | \leq \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $π$ D、若 $| z - 1 | = | z + i |$ ，则点Z的集合中有且只有两个元素

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6. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{e_{2}}$ ，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成 $λ \bar{e_{1}} + μ \bar{e_{2}}$ ， $λ 、 μ \in R$ 的形式，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ D、 $[- 1 - \sqrt{2} ， 2]$

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7. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 5$ ，则（）

A、 $z = 1 - 2 i$ B、 $z + 1$ 是纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 D、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在角 $α$ 的终边上，则 $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 下列关于复数的命题中（其中 $i$ 为虚数单位），说法正确的是（）

A、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的模相等，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是共轭复数 B、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，若 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} + {(z_{2} - z_{3})}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = z_{3}$ C、若关于x的方程 $(1 + i) x^{2} + a x + 1 - 4 i = 0$ （ $a \in R$ ）有实根，则 $a = - \frac{5}{2}$ D、 $1 + 2 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p ， q$ 为实数，则 $q = 5$

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9. 已知 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{e}$ 是平面向量， $\overset{⇀}{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 ${\overset{⇀}{b}}^{2} - 4 \overset{⇀}{e} \cdot \overset{⇀}{b} + 3 = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、 $2 - \sqrt{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $s i n C = 2 \sqrt{3} s i n B s i n A$ ， $b = λ a$ ，则实数 $λ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ （ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线），满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = | \vec{c} - \vec{b} | = 1$ ，设 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3}] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{3} ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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12. 设复数 $z_{1} = 2 s i n θ + i c o s θ (\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2})$ 在复平面上对应向量 $\vec{O Z_{1}}$ ，将向量 $\vec{O Z_{1}}$ 绕原点O按顺时针方向旋转 $\frac{3 π}{4}$ 后得到向量 $\vec{O Z_{2}}$ ， $\vec{O Z_{2}}$ 对应复数 $z_{2} = r (c o s φ + i s i n φ)$ ，则 $t a n φ =$ （）

A、 $\frac{2 t a n θ + 1}{2 t a n θ - 1}$ B、 $\frac{2 t a n θ - 1}{2 t a n θ + 1}$ C、 $\frac{1}{2 t a n θ + 1}$ D、 $\frac{1}{2 t a n θ - 1}$

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二、多选题

13. 下列说法正确的是（）

A、在△ABC中，满足 $a = \sqrt{3} ， b = 3 ， B = \frac{π}{3}$ 的三角形有两个 B、在△ABC中，若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $A = B$ C、在△ABC中， $s i n A > s i n B$ 是 $A > B$ 的充要条件 D、在△ABC中， $\frac{a}{s i n A} = \frac{b + c}{s i n B + s i n C}$

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14. 已知i为虚数单位，复数z满足 $z (2 - i) = i^{2020}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数z的模为 $\frac{1}{3}$ B、复数z的共轭复数为 $- \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ C、复数z的虚部为 $\frac{1}{5}$ D、复数z在复平面内对应的点在第一象限

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15. 已知复数 $z_{0} = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 $P_{0}$ ， $z_{0}$ 的共轭复数在复平面内对应的点为 ${P^{'}}_{0}$ ，复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $P$ ，且复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = | z - i |$ ，下列结论正确的是（）

A、 ${P^{'}}_{0}$ 的坐标为 $(- 1 ， 1)$ B、点 $P$ 在一条直线上 C、 $P_{0}$ 在点 $P$ 的轨迹上 D、 $| {P^{'}}_{0} P |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16. 若不共线向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则下列结论中正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角恒为锐角 B、 $2 {| \overset{⇀}{b} |}^{2} < \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ C、 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ D、 $| 2 \overset{⇀}{a} | < | 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$

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17. 如图，设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} (a c o s C + c c o s A) = 2 b s i n B$ ，且 $∠ C A B = \frac{π}{3}$ ．若点D是 $△ A B C$ 外一点， $D C = 1$ ， $D A = 3$ ，下列说法中，正确的命题是（）

A、 $△ A B C$ 的内角 $B = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 一定是钝角三角形 C、四边形ABCD面积的最大值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 3$ D、四边形ABCD面积无最大值

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18. 意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程 $x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 中的 $x$ 用 $x - \frac{a_{2}}{3}$ 来替换，得到方程 $x^{3} + p x + q = 0$ ；
第二步，利用公式 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) (x + ω y + ω^{2} z) (x + ω^{2} y + ω z)$ 将 $x^{3} + p x + q = 0$ 因式分解；
第三步，求得 $y$ ， $z$ 的一组值，得到方程 $x^{3} + p x + q = 0$ 的三个根： $- y - z$ ， $- ω y - ω^{2} z$ ， $- ω^{2} y - ω z$ （其中 $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ ， $i$ 为虚数单位）；
第四步，写出方程 $x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 的根： $x_{1} = - \frac{a_{2}}{3} - y - z$ ， $x_{2} = - \frac{a_{2}}{3} - ω y - ω^{2} z$ ， $x_{3} = - \frac{a_{2}}{3} - ω^{2} y - ω z$ .
某同学利用上述方法解方程 $8 x^{3} - 12 x^{2} - 42 x + 55 = 0$ 时，得到 $y$ 的一个值： $- 1 + i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = - \frac{3}{2}$ B、 $y z = 2$ C、 $x_{2} = - \frac{1}{2} + \sqrt{3}$ D、 $x_{3} = - 1 - \sqrt{3}$

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三、填空题

19. 设 ${\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2}$ 是平面内一组基向量，且 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2} ， \vec{b} = - {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ 可以表示为以 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为基向量的线性组合，即 ${\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ＝.

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20. 下列说法正确的序号为．
①若复数 $z = 3 + i$ ，则 $\frac{1}{z} = \frac{3}{10} - \frac{i}{10}$ ；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，若 $z_{1} > z_{2}$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均为实数；
④复数 $z = - 3 i + 1$ 的虚部是1．

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21. 已知锐角 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b s i n C + c s i n B = 4 a s i n B s i n C$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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22. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为 $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，并称其为双曲余弦函数．若 $c o s h (s i n θ + c o s θ) \geq c o s h (m - s i n θ c o s θ)$ 对 $\forall θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立，则实数m的取值范围为．

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23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $A = \frac{π}{6}$ ， a=2，⊙O为△ABC的外接圆， $\vec{O P} = m \vec{O B} + n \vec{O C}$ .

(1)、若m=n=1，则 $| \vec{O P} | =$ .

(2)、若m， $n \in [0 ， 1]$ ，则点P的轨迹所对应图形的面积为.

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24. 2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为一“堑堵”， $P$ 是 $B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = B C = 2$ ，则在过点 $P$ 且与 $A C_{1}$ 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于，该“堑堵”的外接球的表面积为.

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四、解答题

25. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 3 i$ （ $i$ 是虚数单位）

(1)、若复数 $(1 + a i) z$ 是纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，求复数 $\frac{\bar{z}}{z + 1}$ 的模．

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26. 已知复数z满足 $| z | = \sqrt{2}$ ，z²的虚部为2.

(1)、求复数z；

(2)、设 $z ， z^{2} ， z - z^{2}$ 在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.

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27. 南京是我国著名的“火炉”城市之一，如图，南京某公园?为吸引游客，准备在门前两条夹角为 $\frac{π}{6}$ （即 $∠ A O B$ ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为|AB|且落在小路上，要求弦长 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，记弓形花园的顶点为M，且 $∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ O B A = θ$ .

(1)、将OA，OB用含有 $θ$ 的关系式表示出来；

(2)、该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，请求出喷泉M与山庄O距离 $| O M |$ 的最大值，并求出此时OA，OB的长度.

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28. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，O为坐标原点，已知点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $C (c o s α ， s i n α)$ .

(1)、若 $\vec{O C} / / \vec{A B}$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{2 s i n^{2} α - c o s (2 α + \frac{π}{2})}{1 + t a n (α - π)}$ 的值.

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29. 在① $c c o s B + b c o s C = \frac{a}{2 c o s A}$ ， ② $2 c - b = 2 a c o s B$ ， ③ $\frac{\sqrt{3} c}{a c o s B} = t a n B + t a n A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足____.

(1)、求角A；

(2)、若 $\frac{\sqrt{3} b}{2} s i n B + (c - \frac{b}{2}) c o s B = \sqrt{7}$ ， $b - c = 2$ ，求 $B C$ 边上的高.

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30. 如果对于三个数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数” $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，如果函数 $y = f (x)$ 使得三个数 $f (a)$ 、 $f (b)$ 、 $f (c)$ 仍为“三角形数”，则称 $y = f (x)$ 为“保三角形函数”.

(1)、对于“三角形数” $α$ 、 $2 α$ 、 $\frac{π}{4} + α$ ，其中 $\frac{π}{8} < α < \frac{π}{4}$ ，若 $f (x) = t a n x$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否是“保三角形函数”，并说明理由；

(2)、对于“三角形数” $α$ 、 $α + \frac{π}{6}$ 、 $α + \frac{π}{3}$ ，其中 $\frac{π}{6} < α < \frac{7 π}{12}$ ，若 $g (x) = s i n x$ ，判断函数 $y = g (x)$ 是否是“保三角形函数”，并说明理由.

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