安徽省十校联盟2022届高三下学期理数4月期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{2 x - 3}}$ ， $B = {x | 2^{x - 2} < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ B、 $[\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $(\frac{3}{2} ， 4)$ D、 $[\frac{3}{2} ， 4)$

查看试题解析
2. 设复数 $\frac{5}{- 3 - i}$ 的实部与虚部分别为a，b，则 $a - b =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

查看试题解析
3. 2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示的是2017~2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（）

A、2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长6% B、2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大 C、2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足50% D、2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小

查看试题解析
4. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 ${a_{n}}$ 可以用如下方法定义： $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ${b_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的第 $2022$ 项为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
5. 已知 $f (x) = 2 c o s (x - \frac{π}{2}) + f^{'} (0) c o s x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{3 π}{4} ， f (\frac{3 π}{4}))$ 处的切线的斜率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若 $| M N | = 10$ ，则线段 $M N$ 的中点到y轴的距离为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

查看试题解析
7. 已知 $x = l o g_{0.1} 7$ ， $y = l g \sqrt{7}$ ，对于命题 $p ： x + y < x y$ ； $q ： x + y > 0$ ，下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

查看试题解析
8. 2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲、乙被分在同一赛区的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = 2 c o s ω x + 2 \sqrt{3} c o s (ω x + \frac{3 π}{2}) (ω \in N^{*})$ ，若对 $\forall λ \in R$ ，在 $[λ ， λ + 3]$ 上至少存在两个不等的实数 $m ， n$ ，使得 $f (m) f (n) = 16$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
10. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $24 \sqrt{3}$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各个顶点均在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $8 \sqrt{3} π$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - x$ ，设 $a = f (l n \frac{1}{3})$ ， $b = f (l g 5)$ ， $c = f (l o g_{6} 3)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

查看试题解析
12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为4，点M在圆 $E ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 16 = 0$ 上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形 $O M N F_{2}$ 为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(1 ， \sqrt{3}]$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{17}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

查看试题解析
14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.

查看试题解析
15. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{n} = a_{n} (a_{n} + 1)$ ，则数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前101项的和为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{1 - x} - 1 ， & x < 1 \\ l n x ， & x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k (x - 1)$ 有4个零点，则实数k的取值范围为.

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b = 5$ ， $c = \sqrt{10}$ ， $a c o s B + b c o s A = \sqrt{2} c c o s B$ .

(1)、求a；

(2)、已知点M在线段 $B C$ 上，若 $t a n ∠ A M B = \frac{3}{4}$ ，求 $t a n ∠ M A C$ 的值.

查看试题解析
18. 已知甲、乙、丙3人参加党史知识答题比赛，每个人按顺序各回答三个问题，每正确回答一题可以获得50元图书换购券，换购券可用于购买党史学习教育类书籍.已知甲答对第一题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，答对后两题的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；乙回答三题正确的概率依次为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ；丙答对每题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙、丙回答问题相互独立.

(1)、求甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250元的概率；

(2)、试通过计算均值，估计甲、乙、丙三人中谁获得图书换购券金额最少.

查看试题解析
19. 在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 4$ ， E，F分别为 $A C$ ， $A B$ 的中点， $△ P E F$ 是由 $△ A E F$ 绕直线 $E F$ 旋转得到，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ，得到如图所示的几何体.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $A P = 3$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P E F$ 所成锐二面角的大小.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为4.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + t (t \neq 0)$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，过点 $B$ 作直线 $y = 3$ 的垂线，垂足为 $D$ ，若直线 $A D$ 与 $y$ 轴的交点为定点 $Q$ ，求 $t$ 的值及定点 $Q$ 的坐标.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = (x + \frac{1}{x}) l n x$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；

(2)、若 $\frac{2 f (x) - m}{e^{m x}} \leq m$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数m的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 6 + \sqrt{3} t \\ y = - t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

(1)、求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)、若过极点O的直线 $l_{1}$ 交l于点M，交C于点N，求 $\frac{| O M |}{| O N |}$ 的最小值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 5 - x |$ 的最小值为m.

(1)、求m的值；

(2)、若 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ，且 $a + b = \frac{2}{3} m$ ，求证： $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 2} \geq \frac{2}{3}$ .

查看试题解析