河南省郑州市十校2021-2022学年高二下学期文数期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1}{2 + i}$ 的共轭复数的虚部是（）

A、 $\frac{1}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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2. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ B、若 ${z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1} + z_{2}$ 是虚数，则 $z_{1}$ 不是 $z_{2}$ 的共轭复数

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3. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）

A、若 $K^{2}$ 的观测值为 $k = 6.635$ ，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误 C、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 D、以上三种说法都不正确

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4. 小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少（）

A、23分钟 B、24分钟 C、26分钟 D、31分钟

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5. 将曲线 $F (x ， y) = 0$ 上的点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程为（）

A、 $F (\frac{x}{2} ， 3 y) = 0$ B、 $F (2 x ， \frac{y}{3}) = 0$ C、 $F (\frac{x}{2} ， \frac{y}{3}) = 0$ D、 $F (2 x ， 3 y) = 0$

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6. 设 $x > 0$ ，则 $x^{2} + \frac{2}{x}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、5

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7. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）

A、7n+1 B、 $9 n - 1$ C、 $6 n + 2$ D、 $8 n + 2$

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8. 在一组样本数据为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n} ， y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ 都在直线 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 上，则这组样本数据的相关系数为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、-1

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9. 若 $1 - \sqrt{2} i$ 是关于x的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个虚数根，则（）

A、 $b = 2$ ， $c = 3$ B、 $b = 2$ ， $c = - 1$ C、 $b = - 2$ ， $c = - 1$ D、 $b = - 2$ ， $c = 3$

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10. 在极坐标系中，与圆 $ρ = 4 s i n θ$ 不相切的一条直线的方程是（）

A、 $ρ c o s θ = 2$ B、 $ρ s i n θ = 4$ C、 $ρ c o s θ = 4$ D、 $ρ c o s θ = - 2$

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11. 若0＜a＜b且a+b=1，则下列四个数中最大的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、b C、2ab D、a²+b²

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12. 下列有关线性回归分析的六个命题：
①在回归直线方程 $\hat{y} = 2 - 0.5 x$ 中，当解释变量x增加1个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均减少0.5个单位②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③当相关性系数 $r > 0$ 时，两个变量正相关④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1⑤残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高⑥甲、乙两个模型的相关指数 $R^{2}$ 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好
其中真命题的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $x \in [- 2 ， 2]$ ，则输出的 $y$ 值的取值范围是（）

A、 $y \leq - 2$ 或 $y \geq \frac{2}{3}$ B、 $- 2 \leq y \leq \frac{2}{3}$ C、 $y \leq - 2$ 或 $0 \leq y \leq \frac{2}{3}$ D、 $y \leq - \frac{5}{2}$ 或 $0 \leq y \leq \frac{2}{3}$

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14. 圆ρ＝5cosθ﹣5 $\sqrt{3}$ sinθ的圆心坐标是（）

A、（5， $\frac{π}{3}$ ） B、（5， $\frac{π}{6}$ ） C、（5， $\frac{5 π}{3}$ ） D、（5， $\frac{5 π}{6}$ ）

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15. 若函数 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x + a |$ 的最小值3，则实数 $a$ 的值为（）

A、5或8 B、-1或5 C、-1或-4 D、-4或8

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二、解答题

16. 已知i为虚数单位，若 $z = \frac{(1 - 2 i) \cdot (2 + i)}{3 + 4 i}$ ，则 $| z | =$ ．

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17. 已知复数 $z = \frac{(1 - i)^{2} + 3 (1 + i)}{2 - i}$ ，若 $z^{2} + a z + b = 1 - i$ ；

(1)、求 $z$ ；

(2)、求实数 $a ， b$ 的值；

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18. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20

(1)、分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)、能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ ．

(1)、求 $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ， $f (3) + f (\frac{1}{3})$ 的值；

(2)、由（1）中求得的结果，你发现 $f (x)$ 与 $f (\frac{1}{x})$ 有什么关系？并证明你的发现；

(3)、求 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{2022})$ 的值．

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20. 郑州是一个缺水的城市，人均水资源占有量仅为全国的十分之一，政府部门提出“节约用水，我们共同的责任”倡议，某用水量较大的企业积极响应政府号召对生产设备进行技术改造，以达到节约用水的目的，下表提供了该企业节约用水技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产用水y（吨）的几组对照数据：
x
2
3
4
5
y
3
3.5
4.7
6

(1)、请根据上表提供的数据，若x，y之间是线性相关，求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产用水为130吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测技术改造后生产100吨甲产品的用水量比技术改造前减少多少吨水？

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21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 3 + t \end{array}$ （t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线m： $θ = β (ρ > 0)$ ．

(1)、求C和l的极坐标方程；

(2)、设m与C和l分别交于异于原点的A，B两点，求 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | - | 2 - x |$ ， $g (x) = x^{2} - 2 | x | + t (t \in R)$ ．

(1)、若 $f (x) \geq a$ 的解集为 $\emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) < g (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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23. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = c o s α ， \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{3 + s i n^{2} θ}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相切于第二象限的点 $P$ ，与 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = \frac{7}{3}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

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24. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) ≥ 3$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若 $a ， b ， c$ 均为正实数，且 $\frac{1}{2} a + b + 2 c = m$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值.

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三、填空题

25. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，那么表中 $m$ 的值为．

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

$m$

4

4.5

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26. 在“一带一路”知识测验后，甲､乙､丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一人预测正确，则三人按成绩由高到低的次序为.

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27. 若函数 $f (n) = k$ ，其中 $n \in N$ ， k是 $e = 2.718281828459 \cdot \cdot \cdot$ 的小数点后第n位数字，例如 $f (4) = 2$ ，则 $f {f \cdot \cdot \cdot f [f (3)]}$ （共2022个f）= ．

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	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

x	2	3	4	5
y	3	3.5	4.7	6

$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	$m$	4	4.5