河南省郑州市十校2021-2022学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{i^{2022} - 3 i}{2 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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2. $s i n \frac{π}{4}$ 的导数是（）

A、 $c o s \frac{π}{4}$ B、 $\frac{1}{4} c o s \frac{π}{4}$ C、 $- \frac{1}{4} c o s \frac{π}{4}$ D、0

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3. 已知 $a ， b ， c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} ， \frac{c}{b} ， \frac{a}{c}$ 的值（）

A、都大于1 B、都小于1 C、至多有一个不小于1 D、至少有一个不小于1

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4. 有如下的演绎推理：“因为对数函数 $y = l o g_{a} x$ 当 $a > 1$ 时在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数；已知 $y = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 是对数函数，所以 $y = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数”的结论是错误的，错误的原因是（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、大小前提都错误 D、推理形式错误

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5. $\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} s i n x + \sqrt{1 - x^{2}}) d x =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{π}{2} + 2$

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6. 在平面几何里，有勾股定理：“设 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $B C$ 互相垂直，则有 ${| A B |}^{2} + {| A C |}^{2} = {| B C |}^{2}$ “，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥 $A - B C D$ 的三个侧面 $A B C$ ， $A C D$ ， ABD两两互相垂直，则可得（）

A、 ${| A B |}^{2} + {| A C |}^{2} + {| A D |}^{2} = {| B C |}^{2} + {| C D |}^{2} + {| B D |}^{2}$ B、 ${| A B |}^{2} \times {| A C |}^{2} \times {| A D |}^{2} = {| B C |}^{2} \times {| C D |}^{2} \times {| B D |}^{2}$ C、 $S_{△ A B C}^{2} + S_{△ A C D}^{2} + S_{△ A B D}^{2} = S_{△ B C D}^{2}$ D、 $S_{△ A B C}^{2} \times S_{△ A C D}^{2} \times S_{△ A B D}^{2} = S_{△ B C D}^{2}$

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7. 用数学归纳法证明“不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ + \frac{1}{3 n + 1} > \frac{25}{24}$ 对一切正整数 $n$ 恒成立”的第二步中，已经假设 $n = k$ 时不等式成立，推理 $n = k + 1$ 成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）

A、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 3} - \frac{1}{3 k + 4} > 0$ B、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{2}{3 k + 3} > 0$ C、 $\frac{1}{3 k + 1} + \frac{1}{3 k + 3} - \frac{2}{3 k + 2} > 0$ D、 $\frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{3 k + 4} - \frac{1}{3 k + 3} > 0$

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8. 为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装相同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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9. 给出定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{^{'}} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.已知函数 $f (x) = 4 x + 3 s i n x - 4 c o s x$ 的拐点是 $M (x_{0} ， f (x_{0}))$ ，则点 $M$ （）

A、在直线 $y = - 3 x$ 上 B、在直线 $y = 3 x$ 上 C、在直线 $y = - 4 x$ 上 D、在直线 $y = 4 x$ 上

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10. 设点 $P$ 是函数 $f (x) = 2 e^{x} - f^{'} (0) x + f^{'} (1)$ 图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为 $α$ ，则角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{3 π}{4})$ B、 $[0 ， \frac{π}{2}) ∪ (\frac{3 π}{4} ， π)$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ D、 $[0 ， \frac{π}{2}) ∪ [\frac{3 π}{4} ， π]$

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11. 著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象特征，则函数 $y = \frac{x^{2} l n | x |}{| x |}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x + s i n x$ ，若 $f (l n x + \frac{a}{x}) + f (- 1) \geq 0$ 对 $x \in (0 ， 2]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若 $(1 - 2 x)^{2022} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2022} x^{2022}$ ，则 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{2022}}{2^{2022}}$ 的值 .

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14. 设复数z，满足 $| z_{1} | = 1$ ， $| z_{2} | = 2$ ， $z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} - i$ ，则 $| z_{1} - z_{2} | =$ ．

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15. 某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这5项工程的不同排法种数是．（用数字作答）

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16. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 有极值点 $x_{1} ， x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ， $f (x_{1}) = x_{1}$ ，则关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2}$ + $2 a f (x) + b = 0$ 的不同实数根的个数是.

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三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = x^{2} - 1 + (x^{2} + 3 x + 2) i$ ， $z_{2} = x + (3 - 2 x) i$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $z_{1}$ 为纯虚数，求实数 $x$ 的值；

(2)、在复平面内，若 $z_{1}$ 对应的点在第四象限， $z_{2}$ 对应的点在第二象限，求实数 $x$ 的取值范围.

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18. 已知 $(\sqrt[3]{x} - \sqrt{x})^{n}$ 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.

(1)、求展开式的所有有理项（指数为整数）；

(2)、求 $(1 - x) + (1 - x)^{2} + (1 - x)^{3} + (1 - x)^{4} + ⋯ + (1 - x)^{n}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数.

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19. 设函数 $f (x) = a x - \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $5 x - 2 y - 4 = 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 上任一点处的切线与直线 $x = 0$ 和直线 $y = 2 x$ 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

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20.

(1)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + y = 1$ ，求证： $(1 + \frac{1}{x}) (1 + \frac{2}{y}) \geq 25$ .

(2)、用分析法证明：对于任意 $a ， b \in (0 ， \sqrt{3}]$ 时，有 $| a b - 3 | \geq \sqrt{3} | a - b |$ .

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21. 一个圆柱形圆木的底面半径为 $1 m$ ，长为 $10 m$ ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 $A B C D$ （如图所示，其中 $O$ 为圆心， $C$ ， $D$ 在半圆上），设 $∠ B O C = θ$ ，木梁的体积为 $V$ （单位： $m^{3}$ ），表面积为 $S$ （单位： $m^{2}$ ）．

(1)、求 $V$ 关于 $θ$ 的函数表达式；

(2)、求 $θ$ 的值，使体积 $V$ 最大；

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22. 设函数 $f (x) = \frac{a}{x^{2}} + l n x$ ， $g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、如果对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，试求 $a$ 的取值范围.

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