河南省豫北名校联考2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\frac{- 3 + i}{3 + i} =$ （）

A、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 用反证法证明“若 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0$ ，则 $x = 1$ 且 $y = 1$ ”时，应假设（）

A、 $x \neq 1$ 且 $y \neq 1$ B、 $x = 1$ 且 $y \neq 1$ C、 $x = 1$ 或 $y = 1$ D、 $x \neq 1$ 或 $y \neq 1$

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3. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则 $E$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 1 ， 0)$ B、 $(\pm \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(\pm \sqrt{5} ， 0)$ D、 $(\pm \sqrt{6} ， 0)$

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4. 观察下列等式， $1^{3} = 1^{2}$ ， $1^{3} + 2^{3} = 3^{2}$ ， $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 6^{2}$ ， $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 0^{2}$ ，根据上述规律， $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} + 6^{3} + \cdot \cdot \cdot + n^{3} =$ （）

A、 $\frac{n^{4} + n^{3} + 2 n^{2}}{4}$ B、 $\frac{n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}}{4}$ C、 $\frac{n^{4} - n^{3} + n^{2}}{4}$ D、 $\frac{n^{4} - 2 n^{3} + n^{2}}{4}$

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5. 曲线 $y = \frac{x^{2}}{2} - 3 l n x$ 的斜率为－2的切线方程为（）

A、 $2 x + y - 5 = 0$ B、 $4 x + 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x + y + 5 = 0$ D、 $4 x + 2 y + 5 = 0$

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6. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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7. 设i为虚数单位，则 ${(\sqrt{x} - i)}^{10}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项为（）

A、 $- C_{10}^{6} x^{2}$ B、 $C_{10}^{6} x^{2}$ C、 $- C_{10}^{8} x^{2}$ D、 $C_{10}^{8} x^{2}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $c o s \frac{C}{2} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $A B = 8$ ， $A C = 7$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 已知函数 $f (x)$ 的导函数的图象如图所示，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则下列式子中一定成立的是（）

A、 $f (s i n A) > f (c o s B)$ B、 $f (s i n A) < f (c o s B)$ C、 $f (s i n A) > f (s i n B)$ D、 $f (c o s A) < f (c o s B)$

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10. 设长方形的面积为s，其外接圆半径为r，则有 $r \geq \frac{\sqrt{2 s}}{2}$ .类比这个结论，设长方体的表面积为S，外接球半径为R，则有（）

A、 $R \geq \frac{\sqrt{2 S}}{2}$ B、 $R \geq \frac{\sqrt{S}}{2}$ C、 $R \geq \frac{\sqrt{2 S}}{3}$ D、 $R \geq \frac{\sqrt{2 S}}{4}$

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11. 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（）

A、7种 B、15种 C、23种 D、26种

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12. 若函数 $f (x) = \frac{k x}{e^{x}} - l n x + x (k \in R)$ 有三个极值点，则k的取值范围是（）

A、 $(e ， + ∞)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(e - 1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， e - 1)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x l n x + 2 f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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14. $(x - y) {(x + 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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15. 已知 $z = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ ，则 $z + z^{2} + \cdot \cdot \cdot + z^{2022} =$ .

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16. 已知点 $A (- 1 ， - 3)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $(- 1 < x < 2 ， y < 0)$ $P (x ， y) (- 1 < x < 2 ， y < 0)$ 均在椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 上，则直线PA斜率的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知复数z是纯虚数， $\frac{z - 2}{1 + 2 i}$ 为实数.

(1)、求复数z；

(2)、若 $m \in R$ ，复数 ${(m - z)}^{2} - 2 z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是各项都为正数的等比数列，其前n项和为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $S_{3} = 9$ ， $T_{3} = 7$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $T_{n} - S_{n}$ 的最小值.

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19. 已知 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中所有项的系数之和为 $\frac{1}{256}$ .

(1)、求展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数；

(2)、从展开式的所有项中任取两项，求这两项中至少有一项是有理项（x的指数为整数）的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = (1 - a) l n x + x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 1$ ，证明： $f (x) > 3 a - a^{2}$ .

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21. 如图所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A C = A D = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C D = 1$ .

(1)、证明：平面 $A B D ⊥$ 平面BCD；

(2)、设点E在棱AD上，满足 $A E = λ A D (O < λ < 1)$ ，若二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{x}{x + 1}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) \geq 0$ ；

(3)、若 $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ，证明： $l n n > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}$ .

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