河南省南阳六校2021-2022学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2022-04-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\frac{i^{2022}}{2 - i} =$ （）

A、 $- \frac{2 + i}{5}$ B、 $- \frac{1 + 2 i}{5}$ C、 $\frac{2 - i}{5}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{5}$

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2. 有一段演绎推理：所有的质数是奇数，2是质数，所以2是奇数.这段推理（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、是正确的

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3. 函数 $f (x) = x^{2}$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的平均变化率等于 $x = m$ 时的瞬时变化率，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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4. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} f^{'} (- 2) x^{3} + 12 x^{2} - 6$ ，则 $f^{'} (- 2)$ 的值为（）

A、12 B、16 C、18 D、24

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5. 对任意正整数 $n$ 定义运算*，其运算规则如下：① $1 * 2 = 2$ ；② $(n + 1) * 2 = (n * 2) \times 2$ .则 $n * 2 =$ （）

A、 $2 (n - 1)$ B、 $2 n$ C、 $2^{n - 1}$ D、 $2^{n}$

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6. 若复数z满足 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 函数 $f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 8 x$ 在区间 $[- 3 ， 1]$ 上（）

A、有极大值和极小值 B、有极大值，无极小值 C、有极小值，无极大值 D、没有极值

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - a l n x (a > 0)$ 在区间 $(0 ， 3)$ 上单调，则a的取值范围为（）

A、 $[e ， + \infty)$ B、 $[9 ， + \infty)$ C、 $(0 ， e]$ D、 $[4 ， + \infty)$

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9. 下列推理正确的是（）

A、如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖 B、若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + m x_{0} + 2 m - 3 < 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(2, 6)$ C、在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} > 0$ ，公差 $d > 0$ ，则有 $a_{4} \cdot a_{6} > a_{3} \cdot a_{7}$ ，
类比上述性质，在等比数列 ${b_{n}}$ 中，若 $b_{n} > 0$ ，公比 $q > 1$ ，则 $b_{4} + b_{8} > b_{5} + b_{7}$ D、如果 $m$ ， $n$ 均为正实数，则 $\lg m + \lg n \geq 2 \sqrt{\lg m \cdot \lg n}$

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10. 请阅读下列材料：若两个正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，满足 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 2$ ，求证： $a_{1} + a_{2} ⩽ 2$ ．
证明：构造函数 $f (x) = {(x - a_{1})}^{2} + {(x - a_{2})}^{2}$ $= 2 x^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) x + 2$ ，因为对一切实数 $x$ ，恒有 $f (x) ⩾ 0$ ，所以 $Δ ⩽ 0$ ，即 $4 {(a_{1} + a_{2})}^{2} - 16 ⩽ 0$ ，所以 $a_{1} + a_{2} ⩽ 2$ ．

根据上述证明方法，若 $n$ 个正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，满足 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = 2 n$ ，你能得到的结论是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \sqrt{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \frac{\sqrt{2} n}{2}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ n$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \sqrt{2} n$

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11. “ $a \leq 1$ ”是“ $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ ， $(x - 1) l n x \geq a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知当 $x > 0$ 时， $x (a - 1) \leq e^{x} - x^{2} - 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e - 1]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- 2 ， e - 1]$ D、 $(- \infty ， - 2]$

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二、填空题

13. 曲线 $y = c o s x + \frac{x}{2}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为．

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14. 若复数 $z = \frac{1}{a - b i} (a ， b \in R)$ 在复平面内对应的点为 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ ，则 $a - b =$ ．

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15. 若正三角形的周长为 $L$ ，面积为 $S$ ，外接圆半径为 $r$ ，则有 $r = \frac{4 S}{L}$ ．类比此结论，设正四面体的表面积为 $M$ ，体积为 $V$ ，外接球半径为 $R$ ，则有 $R =$ ．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x ， x \leq a ， \\ 2 x ， x > a . \end{array}$ ， ①若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为；②若 $f (x)$ 无最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函 $f (x) = a^{x} + \frac{x}{x - 1} (0 < a < 1)$ ．

(1)、用导数法证明 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为减函数；

(2)、用反证法证明方程 $f (x) = 0$ 没有负数根．

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18. 已知复数 $z = a + 2 i (a \in R)$ ，且 $z (2 - i)$ 是纯虚数．

(1)、求复数 $z$ 及 $| z |$ ；

(2)、若复数 ${(z - m i)}^{2} (m \in R)$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 1$ ，证明： $f (x) > 1$ .

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20. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，点 $N$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $A$ 的四等分点.

(1)、求证： $E N ⊥$ 且平面 $E F C_{1} B_{1}$ ﹔

(2)、求二面角 $E - N F - C_{1}$ 的大小.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} - 1$ ，且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、猜思 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2}$ ， $a > 0$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - a x$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$ ，若 $M - m \geq e^{2} - 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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