2022年中考数学二轮专题复习-最值

试卷更新日期：2022-04-22 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 二次函数y=（x-3）²+1的最小值是（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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2. 已知抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该抛物线有（）

A、最小值－3 B、最大值－3 C、最小值2 D、最大值2

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②函数有最小值；③ c>0，③ $- \frac{b}{2 a}$ < 0，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 若抛物线y=（x+1）²+c与y轴相交于点（0，﹣5），则y的最小值为（　　）

A、﹣6 B、6 C、﹣5 D、5

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5. 二次函数y＝ax²+bx+c的自变量x和函数y的部分对应值如表：

x	…	0	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	4	5	4	﹣4	﹣20	﹣45	…

则该二次函数y在所给自变量x（﹣2≤x≤2）的取值范围内的最小值是（）

A、﹣45 B、﹣20 C、﹣4 D、0

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6. 已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a²+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　）

A、16 B、15 C、9 D、7

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7. 如图，在直角坐标系中， $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (- 1 ， t)$ ，以A为位似中心且在点A同侧，把 $△ A B C$ 按相似比 $2 ： 1$ 放大，放大后的图形记作 $△ A B' C'$ ，则 $B C'$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2.5$ D、3

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8. 已知抛物线y＝ax²﹣2ax+3不经过第四象限.当﹣1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差是12，则a的值是（）

A、﹣3 B、3 C、4 D、12

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9. 如图，点E在正方形ABCD的AB边上，AE＝3，BE＝9，点P在BC上运动（不与B、C重合），PQ⊥EP，PQ交CD于点Q，则CQ的最大值是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 $\sqrt{2}$ ）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）

A、有最小值﹣2，无最大值 B、有最小值﹣2，有最大值﹣1.5 C、有最小值﹣2，有最大值2 D、有最小值﹣1.5，有最大值2

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11. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）

A、﹣1 B、﹣3 C、﹣5 D、﹣7

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12. 如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=5；③抛物线上有两点P(x₁ ， y₁)和Q(x₂ ， y₂)，若x₁<1<x₂ ，且x₁+x₂>2，则y₁>y₂；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为 $\sqrt{58}$ ．其中正确的有（）个

A、0 B、1 C、2 D、3

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13. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、4 D、3

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14. 如图，抛物线y₁＝a（x+1）²﹣5与抛物线y₂＝﹣a（x﹣1）²+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m ， ﹣4），若无论x取任何值，y总取y₁ ， y₂中的最小值，则y的最大值是（）

A、4 B、5 C、2 D、1

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15. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 $p = 5 ， c = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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16. 如图，△ABC是一张锐角三角形的纸片，AD是边BC上的高，已知BC=20cm，AD=15cm，从这张纸片上剪一下一个矩形，使矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在AB、AC上。则下列结论不正确的是（）

A、当△AHG的面积等于矩形面积时，HE的长为5cm B、当HE的长为6cm时，剪下的矩形的边HG是HE的2倍 C、当矩形的边HG是HE的2倍时，矩形面积最大 D、当矩形的面积最大时，HG的长是10cm

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17. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF.在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：

①△OEF是等腰直角三角形；

②△OEF面积的最小值是 $\frac{1}{2}$ ；

③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 $2 + \sqrt{3}$ ；

④四边形OECF的面积是1.

所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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18. 关于二次函数y=x²﹣4m x+3 (m是常数），有以下说法：
①不管m是什么实数，该函数图象的顶点一定在函数y=﹣x² +3的图象上；②若该函数图象与x轴相交于点（a，0)， (b， 0) (a<b)，并且方程x²﹣4m x+3﹣t=0 (t是常数）的根是x₁=c，x₂=d (c<d)，则一定有c<a<b < d； ③当-1≤x≤0时，若有最小值2，则m=﹣ $\frac{1}{2}$ 。其中正确的说法是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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19. 新定义：若关于x的一元二次方程：a₁(x-m)²+n=0与a₂(x-m)²+n=0，称为“同族二次方程”如2(x-3)²+4=0与3(x-3)²+4=0是“同族二次方程”现有关于x的一元二次方程2(x-1)²+1=0与(a+2)x²+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax²+bx+2018能取的最小值是（）

A、2011 B、2013 C、2018 D、2023

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20. 如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（）

A、8 B、4 $\sqrt{5}$ C、10 D、8 $\sqrt{2}$

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二、填空题

21. 若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x， $x^{2} - 2 x + 3$ )图象上的最低点是.

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22. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x²+ax+4的图象上，则m-n的最大值为.

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P的坐标为 $(m - 1$ ， $- m + 5)$ ， $⊙ O$ 的半径为1，点Q在 $⊙ O$ 上，连接 $P Q$ ，若 $P Q$ 与 $⊙ O$ 相切.则线段 $P Q$ 的最小值为.

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24. 飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t(单位：秒）的函数关系式是 $S = - 2 t^{2} + 80 t$ ，飞机着陆滑行的最远距离是米.

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25. 如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F.以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE＝x，则CF＝（用x表示）；则GM的最小值为.

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26. 如图，直线y＝﹣x＋m与双曲线y＝﹣ $\frac{2}{x}$ 相交于A，B两点BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为.

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27. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为 $2 \sqrt{5}$ ；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP= $4 \sqrt{2} - 4$ .

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28. 如图，已知 $A (1 ， - 2) ， B (3 ， - 1)$ ，在x轴上取 $C ， D$ 两点，使 $C D = 2$ ，把线段 $A D$ 交点A沿逆时针方向旋转 $90 °$ ，得线段 $A E$ ，把线段 $B C$ 绕点B沿顺时针方向旋转 $90 °$ ，得线段 $B F$ ，当 $E ， F$ 两点之间的距离最小时，点C的坐标为.

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29. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝8，BC＝4，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，Q为线段BP中点，将线段PQ绕点P逆时针旋转120°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是.

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30. 我们定义一种新函数：形如 $y = | a x^{2} + b x + c |$ （ $a \neq 0$ ，且 $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 $y = | x^{2} - 2 x - 3 |$ 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为 $(- 1 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ 和 $(0 ， 3)$ ；②图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ ；③当 $- 1 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 值的增大而增大；④当 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 时，函数的最小值是0；⑤当 $x = 1$ 时，函数的最大值是4．其中正确的结论有．（填序号）

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三、解答题

31. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ $\frac{1}{4}$ AB ，点P在BC上运动（不与B ， C重合），过点P作PQ⊥EP ，交CD于点Q ，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．

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32. 根据设计图纸已知：所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x²+2x+ $\frac{4}{5}$ ，求喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

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33. 函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

(1)、分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= $\frac{2}{x}$ ，y=2(x-1)²+1的最大值和最小值．

(2)、对于二次函数y=2(x-m)²+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

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34. 已知如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，M是AC的中点，点N在AB上（不同于A、B），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得△A₁PM

(1)、画出△A₁PM

(2)、设AN=x，四边形NMCP的面积为y，直接写出y关于x的函数关系式，并求y的最大或最小值．

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35. 由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

(1)、完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围；

售价（元/台）

月销售量（台）

400

200

▲

250

x

▲

(2)、当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

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36. 甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

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37. 如图，已知：关于y的二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (2 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)、求二次函数的表达式.

(2)、在y轴上是否存在一点P，使 $△ P B C$ 为直角三角形.若存在，请求出点P的坐标.

(3)、有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 $A B$ 上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时， $△ M N B$ 面积最大，试求出面积.

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38. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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39. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000$ $kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 $10$ 天的总成本为 $30.4$ 万元；放养 $20$ 天的总成本为 $30.8$ 万元（总成本=放养总费用+收购成本）．

(1)、设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、
设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m$ （ $kg$ ），销售单价为 $y$ 元/ $kg$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = {\begin{cases} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{cases}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．
①分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）

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40. 交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…

(1)、根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是（只需填上正确答案的序号）① $q = 90 v + 100$ ② $q = \frac{32000}{v}$ ③ $q = - 2 v^{2} + 120 v$

(2)、请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

(3)、已知q，v，k满足 $q = v k$ ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当 $12 \leq v < 18$ 时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值

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速度v（千米/小时）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（辆/小时）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…

售价（元/台）	月销售量（台）
400	200
▲	250
x	▲