重庆市2022届高三数学第二次联合诊断检测试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知： $z (1 + i) = 1 - 2 i$ ，则复数z在复平面内对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty) ， s i n x_{0} ⩾ c o s x_{0}$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， s i n x < c o s x$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， s i n x ⩾ c o s x$ C、 $\forall x \in (- \infty ， 0] ， s i n x < c o s x$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0] ， s i n x ⩾ c o s x$

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3. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9} ， B = {x ∣ x^{2} - 14 x + 48 ⩽ 0}$ ，则下图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ B、 ${1 ， 3 ， 5 ， 9}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 9}$

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4. 已知某批零件的尺寸 $X$ （单位： $m m$ ）服从正态分布 $N (10 ， 4)$ ，其中 $X \in [8 ， 14]$ 的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（）
（附：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、 $0.3414$ B、 $0.4773$ C、 $0.512$ D、 $0.8186$

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5. 如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆（图中虚线），我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离.设地球半径为 $r$ ，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是 $\frac{r}{30}$ ，远地距离是 $\frac{r}{15}$ ，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为（）

A、 $\frac{10}{63}$ B、 $\frac{2}{63}$ C、 $\frac{1}{60}$ D、 $\frac{1}{63}$

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{m} = 5$ ，则 $S_{m}$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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7. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ， $s i n (α - β) = \frac{5}{6}$ ， $\frac{t a n α}{t a n β} = - \frac{1}{4}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{5}{6} π$ B、 $π$ C、 $\frac{7}{6} π$ D、 $\frac{11}{6} π$

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二、多选题

9. 已知空间中的两条直线 $m ， n$ 和两个平面 $α ， β$ ，则 $α ⊥ β$ ”的充分条件是（）

A、 $m ⊥ α ， m$ $∥$ $β$ B、 $m \subset α ， n \subset β ， m ⊥ n$ C、 $m \subset α ， m$ $∥$ $n ， n ⊥ β$ D、 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ⊥ β$

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10. 已知 $2^{a} = 5^{b} = 10$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$ B、 $a > 2 b$ C、 $a b > 4$ D、 $a + b > 4$

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11. 已知点 $O (0 ， 0) ， A (4 ， 4)$ ，过直线 $O A$ 上一点 $B$ 作圆 $C ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点分别为 $P ， Q$ ，则（）

A、以线段 $P Q$ 为直径的圆必过圆心 $C$ B、以线段 $P Q$ 为直径的圆的面积的最小值为 $2 π$ C、四边形 $B P C Q$ 的面积的最小值为4 D、直线 $P Q$ 在 $x ， y$ 轴上的截距的绝对值之和的最小值为4

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12. 已知曲线 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 及点 $P (s ， 0)$ ，则过点 $P$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线可能有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、3条

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三、填空题

13. 若拋物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点也是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的焦点，则 $a =$ .

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14. 为筹集善款增设了一个“看图猜诗句”的游戏互动环节，主办方为每位参与者最多展示三张图片，每张图片的内容均对应一首诗词，参与者说对其中一句即视为这张图片回答正确.主办方为参与者每次只展示一张图片，若参与者回答正确才继续为他展示下一张图片，若参与者回答错误则游戏结束，参与者每正确回答一张图片就可为慈善机构募集到一笔基金，多笔基金累积计算.已知某位参加此游戏的嘉宾能正确回答第一､二､三张图片的概率分别为0.9，0.5，0.4，相应能募集到的基金金额分别为1000元，2000元，3000元，且各张图片是否回答正确互不影响，则这位嘉宾参加此游戏恰好共募集到3000元慈善基金的概率为.

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15. $(x + \frac{1}{x^{2}}) (m x - 2)^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数是-27，则 $m =$ .

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16. 无穷符号 $\infty$ 在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距 $O_{1} O_{2} = 25$ ，则该标志的体积为.
附：一个半径为 $R$ 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为 $H$ ），球缺的体积公式为 $V = π H^{2} (R - \frac{H}{3})$ .

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四、解答题

17. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前三项和为12，等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项和为 $7 b_{1}$ ，且 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {\begin{array}{l} a ， n = 2 k - 1 \\ \sqrt{b_{n}} ， n = 2 k \end{array}$ ，其中 $k \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别 $a ， b ， c$ ， $c o s C s i n (A + \frac{π}{6}) - s i n C s i n (A - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为4，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ .

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F G$ 中，矩形 $A D E F$ ，矩形 $C D E G$ 所在的平面均垂直于正方形 $A B C D$ 所在的平面，且 $A B = 2 ， A F = 3$ .

(1)、求多面体 $A B C D E F G$ 的体积；

(2)、求平面 $B F G$ 与平面 $A D E F$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 在检测中为减少检测次数，我们常采取“ $n$ 合1检测法”，即将 $n$ 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有 $20 k (k \in N^{*})$ 人，已知其中有2人感染病毒.

(1)、若 $k = 5$ ，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；

(2)、设采取“10合1检测法”的总检测次数为 $X$ ，采取“20合1检测法”的总检测次数为 $Y$ ，若仅考虑总检测次数的期望值，当 $k$ 为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1 (x > 0)$ 存在极值点 $x_{0}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、比较 $f (2 x_{0})$ 与0的大小，请说明理由.

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22. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 的内部（不包含边界）运动，且与 $A ， B$ 两点不共线，直线 $P A ， P B$ 与椭圆 $C$ 分别交于 $D ， E$ 两点，当 $P$ 为坐标原点时，直线 $D E$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，四边形 $A B D E$ 的面积为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $D E$ 的斜率恒为 $\frac{1}{2}$ ，求动点 $P$ 的轨迹方程.

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