新疆维吾尔自治区2022届高三普通高考理数第二次适应性检测试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $(4 ， 2)$ ，则 $\frac{\bar{z}}{i} =$ （）

A、2+4i B、2-4i C、-2-4i D、-2+4i

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2. 已知集合 $A = {a | a = 3 n - 1 ， n \in Z}$ ， $B = {b | b = 3 n + 1 ， n \in Z}$ ，全集 $U = Z$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、A B、B C、 $\emptyset$ D、Z

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3. 已知命题P： $\forall x \in N$ ， $x^{2} < 2^{x}$ ；命题 $q$ ： $\exists x \in R$ ， $s i n x + c o s x > 1$ ，下列命题中为假命题的是（）

A、 $p \lor q$ B、 $(¬ p) \land q$ C、 $(¬ p) \lor (¬ q)$ D、 $p \lor (¬ q)$

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4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ C、 $f (x) = \frac{1}{1 - | t a n \frac{π}{2} x |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$

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5. 设 $l$ 是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α / / β$ ， $l / / α$ ，则 $l / / β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则 $\frac{a_{1} - a_{n}}{a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1} a_{n}} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、6

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7. 某几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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8. 把1，2，3，4，5这五个数随机排成一列，组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列有（）

A、13个 B、14个 C、15个 D、16个

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9. 某数学兴趣小组要测量校园内国旗杆 $C D$ 的高度，测量的同学在地面选择了 $A$ ， $B$ 两个观测点，且A，B，C三点在同一直线上，如图所示.在 $A$ 处测得国旗杆顶端D的仰角为 $α$ ，在 $B$ 处测得国旗杆顶端D的仰角为 $β$ .若 $A B = a$ ，则国旗杆CD的高度为（）

A、 $\frac{a s i n α s i n β}{s i n (β - α)}$ B、 $\frac{a s i n α s i n (β - α)}{s i n β}$ C、 $\frac{a s i n β s i n (β - α)}{s i n α}$ D、 $\frac{a s i n α}{s i n (β - α) s i n β}$

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10. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + e x - l n x$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2 \sqrt{e} + \frac{1}{2 e}]$ B、 $(2 \sqrt{e} - \frac{1}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1 + \frac{1}{2 e^{2}}]$ D、 $(- \infty ， 2 \sqrt{e} - \frac{1}{2 e})$

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11. 已知点 $P$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的动点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为其左，右焦点， $O$ 为坐标原点.则 $\frac{| P F_{1} | + | P F_{2} |}{| O P |}$ 的最大值是（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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12. 实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 分别满足 $l o g_{\frac{21}{20}} x = \frac{22}{21}$ ， $2 1^{y} = 22$ ， $2 0^{z} = 21$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $y > x > z$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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14. 若 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点， $M$ 为抛物线上一点， $N$ 为抛物线准线与坐标轴的交点，且 $| M F | = \frac{7}{2} p$ ， $△ M N F$ 的面积为 $4 \sqrt{6}$ ，则抛物线的方程为.

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15. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1$ ， $a_{4} + a_{5} = 6$ ，则满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} < a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 的最小正整数 $n$ 的值为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $A A_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点， $Q$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 的中点.则下列结论中正确序号为.
① $M N ⊥ C P$ ；② $A Q / /$ 平面 $M N P$ ；③ $∠ P D Q$ 的余弦值的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{2 \sqrt{2}}{3}]$ ；④△ $A P C_{1}$ 周长的最小值为 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$

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三、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边的长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b s i n C = c s i n B + 2 c o s A - 1$

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，求 $C D$ 的长.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是正三角形， $D$ 是 $A B$ 的中点. $A A_{1} = A_{1} C$ ，直线 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 所成的角为 $45 °$ .

(1)、求证： $B C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求二面角 $A - C D - C_{1}$ 的正弦值.

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19. 2021年8月8日是我国第13个“全民健身日”，社会上参与全民健身活动的人越来越多，小明也有大量好友参与了“健步团”，他随机选取了其中的40人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步量
性别
5001~6000
6001~7000
7001~8000
8001~9000
>9000
男
1
2
3
6
8
女
0
2
10
6
2
附：参考公式 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
临界值表：
$P (K^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、若在小明该日走路不超过7000步的好友中任选2人，求至少有1名男性的概率；

(2)、如果每人一天的走路步数超过8000步就会被系统评定为“健步型”，否则为“良好型”，根据题意完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关

健步型
良好型
总计
男
女
总计

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20. 设函数 $f (x) = a e^{\frac{x}{a} - 1} - l n x - 1$ ，其中 $a > 0$

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 单调性；

(2)、证明： $f (x)$ 有唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \geq 0$ .

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (3 ， \frac{16}{5})$ ，过椭圆 $C$ 的右焦点 $(3 ， 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，记 $M A$ ， $M B$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求实数 $k$ 的值

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{2} t \\ y = 2 + \sqrt{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $P$ 的直角坐标为 $(1 ， 2)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于A、 $B$ 两点，求 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$

(1)、求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a b = a + b + m$ ，求 $a b$ 的最小值

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$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

	健步型	良好型	总计
男
女
总计