湘豫名校2021-2022学年高三下学期理数4月联考试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = [2 ， 4)$ ， $B = [3 ， 5]$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $(4 ， 5]$ B、 $[4 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 2) ∪ [3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2] ∪ [3 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = 1 - i$ ，则 $| 2 z - i \bar{z} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 若数列 ${\frac{3}{a_{n} + 2}}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = - \frac{5}{3}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + a c o s 2 x$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得极值，则函数 $g (x) = a s i n 2 x - c o s 2 x + 1$ 的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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5. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = x l n | x |$ B、 $y = \frac{1}{x} l n | x |$ C、 $y = e^{| x | + l n (x - \frac{1}{x})}$ D、 $y = e^{- | x | + l n (x - \frac{1}{x})}$

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6. 已知O是坐标原点，F是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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7. 若 $s i n 10 ° = (1 - \sqrt{3} t a n 10 °) \cdot s i n (10 ° - α)$ ，则 $s i n (2 α + 70 °) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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8. 已知 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = l g 27$ ， $c = \sqrt{3}$ .则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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9. 在 ${(3 x^{3} - 5 x^{2} + 1)}^{5}$ 的展开式中，除 $x^{5}$ 项之外，剩下所有项的系数之和为（）

A、299 B、-301 C、300 D、-302

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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱台的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、8 B、11 C、12 D、13

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11. 为了防控疫情，某市进行核酸检测，经统计，该市在某一周内核酸检测的人数（单位：万人）如下图所示：
记 $s_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 表示从第i天开始，连续3天核酸检测人数数据的标准差，则 $s_{1}$ ， $s_{2}$ ， $s_{3}$ ， $s_{4}$ ， $s_{5}$ 的大小关系是（）

A、 $s_{2} = s_{3} = s_{5} < s_{1} < s_{4}$ B、 $s_{1} < s_{2} = s_{3} = s_{5} < s_{4}$ C、 $s_{4} < s_{2} = s_{3} = s_{5} < s_{1}$ D、 $s_{1} < s_{4} < s_{2} = s_{3} = s_{5}$

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12. 若 $x > 0$ ，不等式 $2 x e^{x - 1} - 2 a l n x + x^{3} \geq 2 (2 - a) x^{2}$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 x ， - x)$ ，其中 $x \in R$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $3^{n - 1} a_{1} + 3^{n - 2} a_{2} + ⋯ + 3 a_{n - 1} + a_{n} = 2^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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15. 在△ABC中，.BC=7， $A B + A C = 13$ ，点A在以B，C为焦点的椭圆 $M_{1}$ 上，同时点A在以B，C为焦点的双曲线 $M_{2}$ 上，若 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，且 $\frac{3}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} = 6$ ，则角 $A =$ .

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16. 阿基米德多面体（Archimedeanpolyhedra）是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体.它共有13种，其特点是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为.

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三、解答题

17. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，∠ACB=90°， $B B_{1} = 2 B C$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为 $A_{1} B_{1}$ 上一点.

(1)、求证：AD⊥CE；

(2)、当D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点时，求二面角 $C - A D - B_{1}$ 的余弦值.

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{2} a + c = 2 b$

(1)、求 $c o s B$ 的最小值；

(2)、若 $2 a s i n A = (2 b - c) s i n B + (2 c - b) s i n C$ ，求角C.

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19. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足 $△$ PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， $| A B | = 16$ .

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、求证：点P在定直线上.

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20. 某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计这100件产品的技术指标值的中位数；

(2)、根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ .根据上表计算出样本平均数 $\bar{x} = 130.32$ ，样本方差 $s^{2} \approx 1023.9$ ，用样本平均数作为 $μ$ 的近似值，用样本标准差作为 $σ$ 的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求 $E (Y)$ ；

(3)、如果产品的技术指标值在 $μ - 2 σ$ 与 $μ + 2 σ$ 之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率.
参考数据：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ， $\sqrt{1023.9} \approx 32$ .

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21. 对于正实数a，b（ $a > b$ ），我们熟知基本不等式： $G (a ， b) < A (a ， b)$ ，其中 $G (a ， b) = \sqrt{a b}$ 为a，b的几何平均数， $A (a ， b) = \frac{a + b}{2}$ 为a，b的算术平均数.现定义a，b的对数平均数： $L (a ， b) = \frac{a - b}{l n a - l n b}$ .

(1)、设 $x > 1$ ，求证： $2 l n x < x - \frac{1}{x}$ ，并证明 $G (a ， b) < L (a ， b)$ ；

(2)、若不等式 $G (a ， b) + A (a ， b) > m \cdot L (a ， b)$ 对任意正实数a，b（ $a > b$ ）恒成立，求正实数m的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中.直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 3 + t c o s α ， \\ y = 7 + t s i n α \end{array}$ （t为参数， $α$ 为l的倾斜角. $α \in [0 ， π)$ ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C ： ρ = 5$ ，直线l与圆C交于M.N两点.

(1)、若直线l的斜率 $k = 2$ ，求弦MN的中点Q的直角坐标与弦长 $| M N |$ 的值；

(2)、若点 $P (3 ， 7)$ .证明：对任意 $α$ ，有 $| P M | \cdot | P N |$ 为定值.并求出这个定值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 2 | x - 2 | + 4 | x - t | (t \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(3 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数t的取值范围；

(2)、若 $t > 2$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值.

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