四川省达州市2022届高三理数第二次诊断性测试试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 3} ， B = {x | x \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 $[0 ， 3]$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 复数z满足 $z i = \sqrt{2} - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (1 < ξ \leq 4) = 0.32$ ，则 $P (ξ > 4) =$ （）

A、0.18 B、0.36 C、0.32 D、0.16

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4. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点F的直线与圆 $x^{2} + y^{2} - 12 x + 27 = 0$ 相切于点P，则 $| P F | =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 将函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x$ 图象上所有点向左平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是奇函数，则a的最小值是（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列为假命题的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ， $α ∩ β = n$ ，则 $m / / n$ C、若 $α / / β$ ， $m / / α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$

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7. 1707年 $E u l e r$ 发现了指数与对数的互逆关系：当 $a > 0$ ， $a \neq 1$ 时， $a^{x} = N$ 等价于 $x = l o g_{a} N$ .若 $e^{x} = 12.5$ ， $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g e \approx 0.4343$ ，则 $x$ 的值约为（）

A、3.219 B、2.3256 C、2.5259 D、2.7316

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8. 已知单调递增数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} m^{n - 9} ， n \geq 10 \\ (\frac{2 m}{9} + 1) n - 21 ， n < 10 \end{array}$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $[12 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 12)$ C、 $(1 ， 9)$ D、 $[9 ， + \infty)$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (c o s 3 x) l n | 4 x |}{| 2 x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $a = l o g_{0.2} 6$ ， $b = l o g_{3} 6$ ，则（）

A、 $b + 2 a > b - 2 a > a b$ B、 $b - 2 a > a b > b + 2 a$ C、 $a b > b - 2 a > b + 2 a$ D、 $b - 2 a > b + 2 a > a b$

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11. 函数 $f (x) = x + \frac{4}{x + 1} + 3 (x > - 1)$ 的最小值为 $m$ ，则直线 $5 x + 3 y - 15 = 0$ 与曲线 $\frac{x | x |}{m + 3} + \frac{y | y |}{m + 19} = 1$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 设 $f (x) = \frac{s i n 2 x c o s 2 x + \frac{3}{2}}{c o s 4 x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 值域为 $(- \infty ， - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{16})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 上单调递减 D、 $f (x) = f (x + \frac{π}{4})$

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二、填空题

13. ${(\sqrt{x} - 3)}^{7}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 函数 $f (x)$ 满足：①定义域为R，② $f (- x) + f (x) = 0$ ， ③ $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ .请写出满足上述条件的一个函数 $f (x)$ ， $f (x) =$ .

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B = 10$ ， $B C = 7$ ， $C D = 2$ ， $A D = 5$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ .

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16. 在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $D_{1} C_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点， $G$ 为正方体棱上一动点.下列说法中所有正确的序号是
① $G$ 在AB上运动时，存在某个位置，使得 $M G$ 与 $A_{1} D$ 所成角为 $6 0^{∘}$ ；
② $G$ 在AB上运动时，MG与 $C C_{1}$ 所成角的最大正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ；
③ $G$ 在 $A A_{1}$ 上运动且 $A G = \frac{1}{3} G A_{1}$ 时，过 $G ， M ， N$ 三点的平面截正方体所得多边形的周长为 $8 \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$ ；
④ $G$ 在 $C C_{1}$ 上运动时（ $G$ 不与 $C_{1}$ 重合），若点 $G ， M ， N ， C_{1}$ 在同一球面上，则该球表面积最大值为 $24 π$ .

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三、解答题

17. 为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，数据中凡违章车次超过40次的路口设为“重点关注路口”.

(1)、根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；

(2)、现从支队派遣3位交警去违章车次在 $(30 ， 50]$ 的路口执勤，每人选择一个路口，每个路口至多1人，设去“重点关注路口”的交警人数为X，求X的分布列及数学期望.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ 满足 $T_{n} - m n^{2} > 0$ 对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.

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19. 在四棱锥 $M - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $△ A D M$ 是等边三角形， $B D ⊥ M A$ .

(1)、证明： $B M = B A$ ；

(2)、若 $B M ⊥ B A$ ， $B D = A D = 2$ ，求二面角 $B - M C - D$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $C$ 的右顶点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的另一交点为 $P$ .当 $P$ 为 $C$ 的上顶点时，原点到 $l$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、过A与 $l$ 垂直的直线交抛物线 $y^{2} = 8 x$ 于 $M ， N$ 两点，求 $△ P M N$ 面积的最小值.

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21. 已知： $f (x) = e^{x} + m x$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) ≥ \frac{1}{2} x^{2} + \frac{m^{2}}{2} - \frac{3}{2}$ 成立，求实数m的范围

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22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数）.

(1)、写出曲线C与直线l的普通方程；

(2)、设当 $t = 0$ 时l上的点为M﹐点N在曲线C上.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段 $M N$ 中点P的轨迹的极坐标方程.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 4 | + | x + 2 |$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值m；

(2)、设正数x，y，z满足 $3 x + 2 y + z = \frac{m}{3}$ ，证明： $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{y + 2} + \frac{1}{z + 3} ≥ 3$ .

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