陕西省榆林市2022届高三下学期理数三模试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ｜ x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | 2 x + 3 > 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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2. 若复数 $(3 + 2 i) (1 - a i)$ 在复平面内对应的点位于第一象限，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{2}{3})$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2})$ C、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{2}{3})$

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3. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的一点 $M (x_{0} ， 1)$ 到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（）

A、6 B、4 C、3 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = x - a s i n x$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 是三条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，若 $α / / β$ ， $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则（）

A、 $l / / n$ B、 $l / / m$ C、 $l ⊥ n$ D、 $l ⊥ m$

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6. 2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，航天技术得以发展，得益于如下的齐奥尔科大斯基公式： $v_{f} = v_{0} + ω l n \frac{m_{0}}{m_{k}}$ ，其中 $m_{0}$ ， $m_{k}$ 分别为燃料燃烧前与燃烧后的火箭质量， $ω$ 是燃料喷出的速度， $v_{0}$ 是火箭的初速度， $v_{f}$ 是燃料完全燃尽时火箭的速度，现准备发射一个二级火箭（初速度 $v_{0} = 0$ ），每级火箭的箭体结构的质量均为50吨，每级火箭携带的燃料质量均为250吨，燃料喷出的速度为 $3000 m / s$ ，先点燃第一级火箭燃料，燃料燃尽后，第一级火箭自动脱离，同时点燃第二级火箭的燃料，则当第二级火箭的燃料燃尽时，火箭的速度约为（）（参考数据： $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 2 \approx 0.69$ ）

A、 $6940 m / s$ B、 $7440 m / s$ C、 $7840 m / s$ D、 $8670 m / s$

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7. △ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若△ $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ ， $b - c = 1$ ， $c o s A = \frac{1}{4}$ ，则 $a =$ （）

A、10 B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 某公司计划招聘一批新员工，现有100名应届毕业生应聘，通过考试成绩择优录取，这100人考试成绩的频率分布直方图如图所示，若该公司计划招聘60名新员工，则估计新员工的最低录取成绩为（）

A、75分 B、78分 C、80分 D、85分

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9. 四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 6$ ， $P$ 是菱形 $A B C D$ 所在平面的任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为（）

A、-30 B、-27 C、-15 D、-9

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10. 在矩形 $A B C D$ 中，以 $A$ ， $B$ 为焦点，经过 $C$ ， $D$ 两点的椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} + e_{2} < 2$ B、 $e_{1} + e_{2} = 2$ C、 $e_{1} + e_{2} > 2$ D、 $e_{1} + e_{2}$ 与2的大小关系不确定

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{^{'}} (x) + f (x) > 1$ ， $f (1) = 2$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $f (2) < \frac{1 + 2 e}{e}$ B、 $f (2) < \frac{1 + e}{e}$ C、 $f (2) > \frac{1 + 2 e}{e}$ D、 $f (2) > \frac{1 + e}{e}$

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12. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，且对任意 $x \in [\frac{π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{4}{3} ， 2]$ B、 $(\frac{4}{3} ， 2)$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $(1 ， 3)$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 4 \leq 2 x - y - 2 \leq 0 \\ - 1 \leq x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + 3 y$ 的最小值为.

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14. 已知 $2 s i n α = 5 c o s α$ ，则 $s i n 2 α + c o s^{2} α =$ .

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15. 在某城市中， $A$ ， $B$ 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从 $A$ 地出发去往 $B$ 地，且不经过 $C$ 地，则不同的路径共有条．

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16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为．

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三、解答题

17. 某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．
男顾客
女顾客

8
8
7
5
3
7
2
2
3
3
5
6
7
8

8
7
6
5
5
2
1
8
0
1
2
2
5
7
7
8
9
7
6
5
5
3
0
0
9
0
0
1
2
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理由．

(2)、将这40名顾客的评分的中位数记为 $m$ ，求 $m$ ，并将评分超过 $m$ 和不超过 $m$ 的顾客数填入下面的列联表：

超过 $m$
不超过 $m$
男顾客
女顾客

(3)、根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与性别有关？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 9$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图：在多面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A F ∥ D E$ ， $A F = A D = 2 D E$ ． $A F ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B D ∥$ 平面 $C E F$ ．

(2)、求异面直线 $B D$ 与 $C E$ 所成角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ； $F (- c ， 0)$ 是 $E$ 的左焦点，直线 $l ： x = m y + c$ 与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A F$ 与 $E$ 的另一交点为 $M$ ，直线 $B F$ 与 $E$ 的另一交点为 $N$ .当 $m = 0$ 时， $△ A B F$ 的面积为3.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、证明：直线 $M N$ 经过定点 $(- \frac{13}{7} ， 0)$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + 1 ， g (x) = l n x$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = g (x) + \frac{x f (x) - x}{e^{x}}$ 的单调性；

(2)、若 $x f (x) < g (x) + 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 c o s θ \\ y = 3 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ + ρ s i n θ - 12 = 0$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程与 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、 $P$ 为 $C$ 上任意一点， $A$ 为 $l$ 上任意一点，求 $| P A |$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x + 4 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 7$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > | x + 2 | + 2 a$ ，求 $a$ 的取值范围.

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男顾客									女顾客
			8	8	7	5	3	7	2	2	3	3	5	6	7	8
	8	7	6	5	5	2	1	8	0	1	2	2	5	7	7	8
9	7	6	5	5	3	0	0	9	0	0	1	2

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	超过 $m$	不超过 $m$
男顾客
女顾客