陕西省西安市长安区2022届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{x - 1}{x - 5} > 0}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | 3 \leq x < 5}$ B、 ${x | 1 \leq x < 5}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 5}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$

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2. 已知复数z满足 ${(1 - i)}^{2} z = 2 - 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、1 C、-.2 D、 $i$

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3. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图像如图所示，则函数 $f (x)$ 极值点的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[0 ， 1]$ 上的函数，那么“函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值为 $f (0)$ ”是“函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递减”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行 $12$ 里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第 $n$ 天相遇，则 $n$ 的最小整数值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满 $2 k (k \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为0.5．若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛．下列说法正确的是（）
①k=1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 $\frac{1}{4}$ ；②k=2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 $\frac{5}{16}$ ；③在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k；④随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 $\frac{1}{2}$ ．

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、③④

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，若函数 $f (x)$ 的一个零点为 $\frac{π}{6}$ ．其图像的一条对称轴为直线 $x = \frac{5 π}{12}$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、2 B、6 C、10 D、14

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8. 设m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $m ∕ ∕ α$ ， $n ∕ ∕ α$ ，则 $m ∕ ∕ n$ B、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∕ ∕ β$ C、若 $α ∕ ∕ β$ ， $m \subset α$ ， $n ∕ ∕ β$ ，则 $m ∕ ∕ n$ D、若 $α ∕ ∕ β$ ， $β ∕ ∕ γ$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$

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9. 六氟化硫，化学式为 $S F_{6}$ ，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{27} π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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10. 已知曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点P在双曲线C上，且直线 $P A_{1}$ 与 $P A_{2}$ 的斜率之积等于2，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) + 1 + x [f^{'} (x) + 1] = e^{x}$ ，则 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上（）

A、恒为正值 B、恒为负值 C、单调递增 D、单调递减

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12. 已知抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为 $2$ ，点 $P$ 是直线 $l$ 上的动点．若点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| A F | = 3$ ，过点 $A$ 作直线 $P F$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| P H | \cdot | P F |$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ D、12

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二、填空题

13. ${(1 + x)}^{5} {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ ．

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15. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ ，当x>0时，有 $f (x) = {\begin{array}{l} - l o g_{3} (4 - x) ， 0 < x \leq \frac{5}{4} \\ f (x - 3) ， x > \frac{5}{4} \end{array}$ ，则 $f (2) + f (4) + f (6) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) =$ ．

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16. “0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”， $f (A)$ 表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如 $A = {1 ， 0}$ ，则 $f (A) = {0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1}$ ．设 $A_{1}$ 是一个有限“0，1数列”，定义 $A_{k + 1} = f (A_{k})$ ， k=1，2，3，…．若有限“0，1数列” $A_{1} = {0 ， 1 ， 0}$ ，则数列 $A_{2022}$ 的所有项之和为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a s i n A - c s i n C = (a - b) s i n B$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2， $s i n A s i n B = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下：

良好以下
良好及以上
合计
男
25
女
10
合计
70
100
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

(1)、将列联表补充完整；计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

(2)、事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，F为AB的中点．

(1)、求证： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $D B$ 与平面 $P D F$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 恰好是双曲线 $x^{2} - \frac{x^{2}}{8} = 1$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上的动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 | F_{1} F_{2} |$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆C于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在点 $M$ 使得四边形 $O A M B$ （ $O$ 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{45}{5 + 4 s i n^{2} θ}$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、直线l与曲线C交于A，B两点，设点 $P (2 ， 0)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | + | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $a + b = m$ ，求证： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b} > 1$ ．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	良好以下	良好及以上	合计
男	25
女		10
合计	70		100