陕西省2022届高三下学期理数教学质量检测试卷（二）

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l g (x - 2)}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | 2 < x \leq 4}$

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2. 已知复数 $z_{1} = a - 3 i$ ， $z_{2} = 2 + i$ （i为虚数单位），若 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、-6 D、6

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3. 小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（）

A、10% B、8% C、5% D、4%

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4. 若双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ( $m > 0$ )的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、4 D、-4

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ 则异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成角的正切值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 ${(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）

A、 $\frac{1}{2^{10}}$ B、 $- \frac{1}{2^{10}}$ C、 $2^{10}$ D、 $- 2^{10}$

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7. 要得到函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移是 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移登 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，令 $g (x) = f (x) - e^{x}$ ，若 $g (t) < g (4 - t)$ ，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，则“ $d < 0$ ”是“ ${b_{n}}$ 为递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上，且满足 $C A = C B$ ，圆内的弧线是以 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径的圆的一部分.记 $Δ A B C$ 三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，则（）

A、 $P_{1} = P_{2}$ B、 $P_{1} > P_{2}$ C、 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{π + 1}$ D、 $P_{2} - P_{1} = \frac{1}{π + 1}$

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11. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角大约（即 $∠ A B C$ ）为 $30 °$ ，夏至正午太阳高度角（即 $∠ A D C$ ）大约为 $75 °$ ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $D B$ 的长）为a，则表高（即 $A C$ 的长）为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a$ B、 $\frac{1}{4} a$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{4} a$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} a$

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12. 已知 $a = 5 \ln 4^{π}$ ， $b = 4 \ln 5^{π}$ ， $c = 5 \ln π^{4}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， x)$ ，若 $\vec{b} / / (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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14. 椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，若F关于直线 $x + y = 0$ 的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆的离心率为．

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15. 角 $α$ 顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线 $2 x + y = 0$ 上，则 $s i n (\frac{π}{4} - α) c o s (α - \frac{π}{4}) =$ .

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16. 在内接于球 $O$ 的四面体 $A B C D$ 中，有 $A B = C D = t$ ， $A D = B C = 6$ ， $A C = B D = 7$ ，若球 $O$ 的最大截面的面积是 $\frac{55 π}{4}$ ，则 $t$ 的值为．

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三、解答题

17. 下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中x表示产量（单位：吨），y表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）
x
2
3
4
5
6
y
2
2.5
3.5
4.5
6.5
参考公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

(1)、试在给出的坐标系下作出散点图，根据散点图判断，在 $y = a + b x$ 与 $y = m 2^{x} + n$ 中，哪一个方程更适合作为变量y关于x的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由）

(2)、根据（1）的结果以及表中数据，建立变量y关于x的回归方程．并估计生产100吨产品需要准备多少吨煤．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .若 $a_{1}$ 、 $a_{k}$ 、 $S_{k + 2}$ 成等比数列，求 $k$ 的值.

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19. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上， $C E ∥ A B$ ．

(1)、求证：CE⊥PD；

(2)、若PA＝AB＝1，AD＝3，且 $∠ C D E = 45 °$ ，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线C上一点 $M (4 ， m)$ 到其焦点的距离为6.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、不过原点的直线 $l ： y = x + m$ 与抛物线C交于不同两点P，Q，若 $O P ⊥ O Q$ ，求m的值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x$ ．

(1)、当 $g (x) = s i n (1 - x)$ ，求函数 $T (x) = f (x) + g (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 的单调性；

(2)、 $h (x) = f (x) + \frac{1}{2 x} - b$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 1$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 - \sqrt{2} t \\ y = - 1 + \sqrt{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s (θ + \frac{π}{4})$ .

(1)、判断曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的位置关系；

(2)、设点 $M (x ， y)$ 为曲线 $C_{2}$ 上任意一点，求 $2 x + y$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | (x + 1) + | x - 1 | (x + a)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) < 0$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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x	2	3	4	5	6
y	2	2.5	3.5	4.5	6.5