宁夏吴忠市2022届高三理数模拟试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | l o g_{3} (x - 2) < 0}$ ， $N = {x | x \geq - 2}$ ，集合 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x < 3}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 ${x | x < 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i^{3}) = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的顶点到渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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4. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 ， \\ x - y - 3 \leq 0 ， \\ 3 x + y - 3 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、4 B、10 C、6 D、8．

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5. 已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且 $A B = B C = 2$ ， $∠ B = 120 °$ ，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{64}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{16}{9} π$

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6. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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7. 已知 $\sin (\frac{3 π}{2} - α) + \cos (π - α) = \sin α$ ，则 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{21}{10}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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8. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + 2 S_{n} = 2 n + 1$ ，则 $S_{2022} =$ （）

A、2000 B、2020 C、2021 D、2022

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9. 下列命题正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 > 3 x_{0}$ ”的否定是“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 3 x$ ” B、函数“ $f (x) = c o s a x - s i n a x$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $a = 2$ ”的必要不充分条件 C、 $x^{2} + 2 x \geq a x$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时有解 $\Leftrightarrow {(x^{2} + 2 x)}_{m i n} \geq (a x)_{m i n}$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 时成立 D、“平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角”的充要条件是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ”

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10. 已知 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 所在的平面互相垂直， $A C = 25$ ， $A B = A D = 20$ ， $C B = C D = 15$ ，则直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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11. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ．若直线l： $x + y + m = 0$ 上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得 $∠ A P B = 60 °$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 9)$ B、 $(- \infty ， 9] \cup [- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 9 ， - 1]$

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12. 设实数 $λ > 0$ ，若对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{λ x} - \frac{\ln x}{λ} ⩾ 0$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2 e}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{e}{3}$

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二、填空题

13. $(x + 2) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数是．

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14. 已知向量 $| \vec{a} | = 2 ， \vec{b} = (3 ， - 4)$ ，若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{22}{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足 $| A B | = | F_{1} F_{2} |$ ，若令 $∠ F_{1} A B = θ$ 且 $θ \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ ，则该椭圆离心率的取值范围为．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， x > 0 \\ 2 - x e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且 $b s i n B - a s i n A = (\sqrt{2} b - c) s i n (A + B)$ .

(1)、求A的大小；

(2)、过点C作 $C D ∥ B A$ ，在梯形ABCD中， $B C = 4$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[80 ， 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80 ， 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附参考数据：若 $X ~ N (μ ， δ^{2})$ ，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ ．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $A A_{1} = A_{1} B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C C_{1}}$ ，求二面角 $P - A_{1} B - A$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点M在椭圆C上移动， $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，O为坐标原点，点P为直线 $x = 2$ 上的动点，连接AP交椭圆于点Q（异于点A）.判断 $\vec{O Q} \cdot (2 \vec{O P} + \vec{O A})$ 是否为定值，若是，求出该定值；若否，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{x} + a$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \in (0 ， l n 2)$ ，证明：函数 $g (x) = e^{x} f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $g (x_{0}) > 0$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{7} c o s α \\ y = \sqrt{7} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 8 c o s θ$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ .
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在第一象限分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为 $C_{2}$ 上的动点.求 $Δ P A B$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{a}{2} | + | x + b + c |$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数).

(1)、当 $a = b = c = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $f (x)$ 的最小值为3时，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值.

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