宁夏石嘴山市2022届高三理数适应性测试试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l o g_{2} (2 - x)}$ ， $B = {y | y = 2^{| x |}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 已知 $s i n (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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3. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + x + 1 \geq 0$ ．命题 $q ：$ 若 $a^{2} < b^{2}$ ，则 $| a | < | b |$ ，下列命题为假命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \lor q$ C、 $p \lor \neg q$ D、 $\neg p \lor \neg q$

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4. 函数 $f (x) = \frac{2 l n | x - 2 |}{(x - 2)^{3}}$ 的图象可能是下面的图象（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知m，n为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）
（1） $m ⊥ α ， m ⊥ n \Rightarrow n ∥ α$ 或 $n \subset α$ （2） $n ∥ m ， n ⊥ α \Rightarrow m ⊥ α$ （3） $α ∥ β ， m \subset α ， n \subset β \Rightarrow m ∥ n$ （4） $m \subset α ， n \subset α ， m ∥ β ， n ∥ β \Rightarrow α ∥ β$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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7. 在复平面内，复数z满足 $(1 + i) z = a + 1 + b i (a ， b \in R)$ ，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则a+2b的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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8. 已知 $a_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项积，若 $\frac{1}{b_{n}} - \frac{2}{a_{n}} = 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $3 - 2 n$ B、 $- 3 + 2 n$ C、 $3 - 4 n$ D、 $1 - 2 n$

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9. 已知G是△ABC重心，若 $| \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{A C} | = \sqrt{10}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、4 B、1 C、-2 D、2

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10. 过圆锥的顶点 $P$ 作圆锥的截面，交底面圆 $O$ 于 $A$ ， $B$ 两点，已知圆 $O$ 的半径为1， $∠ A P B = \frac{π}{3}$ ， $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $2 π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $(1 + \sqrt{2}) π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， P为双由线C上的一点，若线段 $P F_{1}$ 与y轴的交点M恰好是线段 $P F_{1}$ 的中点， $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M O} = 2 b^{2}$ ，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（）

A、 $y = \pm 3 \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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12. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} + x_{2} = 2 a$ ，恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 b$ ，则称函数 $f (x)$ 具有对称性，其中点 $(a ， b)$ 为函数 $y = f (x)$ 的对称中心，研究函数 $f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1} + t a n (x - 1)$ 的对称中心，求 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{3}{2022}) + f (\frac{5}{2022}) ⋯ + f (\frac{4043}{2022}) =$ （）

A、2022 B、4043 C、4044 D、8086

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二、填空题

13. $\int_{- 1}^{1} (e^{x} + | x |) d x =$ ．

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14. 已知直线 $l$ 将圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - 2 y + 1 = 0$ 平分，且与直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前32项之和为.

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16. $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 $A C$ 的中点，若 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ，求 $B D$ 的最小值．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = P A = 1$ ， $A D = 2$ ， F是 $P B$ 中点，E为 $B C$ 上一点．

(1)、求证： $A F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E B = 1$ 时，求二面角 $B - P E - D$ 的余弦值．

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19. 新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于 $n$ 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 $n$ 次．二是混合检验，将其中 $k$ 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 $k$ 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 $k$ 份血液检验的次数总共为 $k + 1$ 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 $P = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．

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20. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $B (- 2 ， 0)$ ，点 $A$ 满足 $| O A | = 3$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $B C$ 的中点在线段 $O A$ 上．

(1)、求 $C$ 点的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 的直线交曲线 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，当 $\vec{M B} = λ \vec{B N} (λ \in (1 ， 2])$ ，求 $△ O M N$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} - (a + 2) x + 2$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x + 3 y = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a$ 为正整数，函数 $f (x)$ 恰好有两个零点，求 $a$ 的值.

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²﹣6ρcosθ+5＝0，曲线C₂的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s \frac{π}{6} \\ y = t s i n \frac{π}{6} \end{array}$ （t为参数）．

(1)、求曲线C₁的直角坐标方程，并说明是什么曲线？

(2)、若曲线C₁与C₂相交于A、B两点，求|AB|的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 1 | + | 3 x + 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 10$ 的解集；

(2)、正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 2$ ，证明： $\sqrt{f (x)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

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