江西省宜春市2022届高三理数4月模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x | | x | \leq 1}$ ，则 $∁_{R} (A ∩ B) =$ （）

A、 $(- ∞ ， - 1] ∪ [1 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， - 1] ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 1)$

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2. 若 $\sin (π - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 ${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{4}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 地球的表面积为5.1亿平方千米，而陆地面积为1.49亿平方千米.右侧的扇形统计图表示的是各大洲面积占地球陆地面积的百分比，则关于七大洲的说法中，正确的是（）

A、非洲的面积最大 B、大洋洲的面积占地球表面积的6% C、大洋洲的面积大约为0.306亿平方千米 D、亚洲的面积超过0.298亿平方千米

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5. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{9} = 6 π$ ，则 $t a n (S_{7} - S_{2}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、12 D、4

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6. 在 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、-60 B、-240 C、60 D、240

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7. 2021年7月20日河南省遭受特大暴雨表击，因灾死亡失踪398人．郑州日降雨量 $622.7 m m$ ，其中最大小时降雨量达 $201 m m$ ，通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度．其中小雨日降雨量在 $10 m m$ 以下；中雨日降雨量为 $10 ~ 24.9 m m$ ；大雨日降雨量为 $25 \sim 49.9 m m$ ；基雨日降雨量为 $50 \sim 99.9 m m$ ；大暴雨日降雨量为 $100 \sim 250 m m$ ；特大暴雨日降雨量在 $250 m m$ 以上，为研究宜春某天降雨量，某同学自制一个高为 $120 m m$ 的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块，如图1所示，接了24小时的雨水（不考虑水的损耗），水面刚好没过四棱锥顶点 $P$ ，然后盖上盖子密封，将容器倒置，如图2所示，水面还恰好没过点 $P$ ，则当天的降雨的级别为（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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8. 已知直线l过点 $M (3 ， 0)$ ，则“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 有公共点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) = - 2 x^{3} + 3 a x^{2} - f^{'} (1) x$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在点 $(- 2 ， f (- 2))$ 处的切线的斜率为（）

A、-21 B、-27 C、-24 D、-25

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10. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l交椭圆于A、B两点，且 $(\vec{A F_{1}} + 2 \vec{F_{2} O}) \cdot \vec{F_{2} A} = 0 ， ∠ A B F_{1} = \frac{π}{3}$ ，该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{11} - 2}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{22} - 3}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{22} - 3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{33} - 3}{4}$

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11. 设整数数列 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{9}$ 满足 $a_{9} = 3 a_{1} ， a_{2} + a_{8} = 2 a_{5}$ ，且 $a_{i + 1} - a_{i} \in {1 ， 2} ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8$ ，这样的数列的个数为（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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12. 若定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in D$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq | x_{1} - x_{2} |$ ，则称 $f (x)$ 为“低调函数”，给出下列命题：
①函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 1 (- 1 \leq x \leq 1)$ 是“低调函数”；②若奇函数 $f (x)$ 是区间 $[- 1 ， 1]$ 上的“低调函数”，则 $| f (x) | \leq 1$ ；③若 $f (x)$ 是区间 $[- 1 ， 1]$ 上的“低调函数”，且 $f (- 1) = f (1) = 0$ ，则对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 1$ ．
其中正确的命题个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y - 2022$ 的最大值为.

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14. $△ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 3 \sqrt{3} ， B = 30 °$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = \frac{1}{5} (2 \times 4^{n} - 3 \times 2^{n} + 1)$ ，记数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

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16. 正四面体 $P - A B C$ 棱长为3，点D，E，F分别在棱 $A P ， B P ， C P$ 上，且 $P D = 2 D A ， D E ∥ A B ， 2 P F = F C$ ，则该正四面体的外接球被平面 $D E F$ 所截的截面面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = 2 ， c = 2 \sqrt{2} ， s i n A = \frac{\sqrt{2}}{2} ， a > c$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $c o s (A - B) + c o s C$ 的值．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧 $D C ， A B$ 上的一点， $E F ∥ A D$ ，点H为线段 $A D$ 的中点，且 $A B = A D = 4 ， ∠ F A B = 30 °$ ，点G为线段 $C E$ 上一动点．

(1)、试确定点G的位置，使 $D G / /$ 平面 $C F H$ ，并给予证明；

(2)、求二面角 $C - H F - E$ 的大小．

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19. 某企业招收了2000名新员工，为便于全面了解新员工的素质情况，除查看员工履历外，还进行了一系列的综合素质测试（满分100分），人事部在测试成绩中随机抽取了100名员工的测试成绩作为样本分析，并把样本数据进行了分组，绘制了频率分布直方图，并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ．
（附：若随机变量 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ + 2 σ) = 0.9544 ， \sqrt{161} = 12.70$ ）

(1)、求样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试．
①用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本标准差s作为 $σ$ 的估计值，请利用估计值判断这2000名新员工中，能够参加干部竞聘初级面试的人数；（四舍五入保留整数）
②公司为培养后备人才，对初级面试过关的人员还要分别进行A，B两项答辩，规定A，B两项答辩只通过一项的员工可获得1000元的干部培训奖励费，若两项答辩均通过，则可获得1500元的干部培训奖励费，否则不受此奖励，初试过关的李华通过A项答辩的概率为0.6，通过B项答辩的概率为0.5，其获得干部培训奖励费为Y，求Y的分布列与数学期望．

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20. 双曲线 $C_{1} ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点相同，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，双曲线 $C_{1}$ 的上下顶点分别为A，B．过椭圆 $C_{2}$ 上顶点R的直线l与双曲线 $C_{1}$ 交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、证明 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，并求出该定值．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) + (a + 2) x$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) = \frac{m}{x}$ 有两个不等实根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $x_{1}^{2} x_{2} < e^{- \frac{3}{2}}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + c o s α ， \\ y = - 2 + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2 ρ s i n (θ + \frac{π}{6}) = 1$ ．

(1)、求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点A的极坐标为 $(2 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ，点B为曲线C上一动点，求线段 $A B$ 的中点P到直线l的距离的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | a x - 1 | - | 2 a x + 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq - 1$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， 4]$ ， $| f (x) + | a x - 1 | | = 4$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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