湖南省长沙市2021-2022学年九年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-04-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数 $- \frac{1}{2}$ ， $π$ ， 3.14，0中，最大的数是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、3.14 C、 $π$ D、0

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2. 根据国家卫健委的统计，截止4月5日清明节，我国新冠确诊病例累计超486000，用科学记数法表示这一数据是（）

A、4.86×10⁵ B、0.486×10⁶ C、48.6×10⁴ D、4.86×10⁶

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3. 下列图形中，为中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{4} = a^{6}$ B、 $a^{9} \div a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{2} = 2 a^{2}$ D、 $(- a^{2})^{3} = a^{6}$

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5. 如图，直线AB∥CD， $∠ M = 90 °$ ， ∠MPA＝32°，则 $∠ M E C$ 的度数是（）

A、58° B、122° C、132° D、148°

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6. 如图， $A B$ 、 $B C$ 为 $⊙ O$ 的两条弦，连接 $O A$ 、 $O C$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的延长线上一点，若∠CBD＝61°，则 $∠ A O C$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、119° C、122° D、 $130 °$

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7. 一次函数y＝－ 2021x＋2022的图象不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了 $10$ 辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）

A、 $220 ， 220$ B、 $210 ， 215$ C、 $210 ， 210$ D、 $220 ， 215$

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9. 在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把－25到－30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和 $S$ 都相等，那么 $S$ 的最小值是（）

A、－84 B、－85 C、－86 D、－87

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二、填空题

11. 分解因式：6x²y﹣3xy＝.

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为 $12 \sqrt{3}$ ，圆心到弦 $A B$ 的距离为6，则 $∠ B O C$ 的度数为.

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $H$ 为 $B C$ 中点，AC＝3，BD＝4，则线段 $O H$ 的长为.

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 = 0$ 的一个根为3，则 $m =$ .

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15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为．

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16. 明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中 $m =$ _.

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三、解答题

17. 计算： $| \sqrt{5} - 3 | + 2 \cos 60 ° - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{8} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{0}$ .

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18. 先化简，再求值： $x (x - 2 y) + (x + y)^{2} - (x + y) (x - y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - \frac{1}{2}$ .

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19. 人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的.九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了.

已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF.

证明：假设（1），

过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，

∴PQ//CD（（2）），

∵AB//CD，且AB也过点G，

∴与（（3））矛盾，

所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF.

请完成上面（1）、（2）、（3）空：

(1)、；

(2)、；

(3)、请选择合理的依据（）

A、两点确定一条直线 B、两直线平行，同位角相等 C、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

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20. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数 $n$	100	150	200	500	800	1000
摸到白球的次数 $m$	58	96	116	295	484	601
摸到白球的频率 $\frac{m}{n}$	0.58	0.64	0.58	0.59	0.605	0.601

(1)、请估计：当

n

很大时，摸到白球的频率将会接近（结果保留小数点后一位），试估算口袋中白球有只；

(2)、如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.9，求加入的白球数量.

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21. 如图，已知点 $E$ 是 $▱ A B C D$ 中 $B C$ 边的中点，连接 $A E$ 并延长交 $D C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $A C$ ， $B F$ ，且 $A F = B C$ .

(1)、求证：四边形 $A B F C$ 为矩形；

(2)、若 $Δ A F D$ 是等边三角形，且边长为 $2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $A B F C$ 的面积.

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22. 高举“泰安球王”旗帜，发展全校篮球特色，为了落实好长沙市大课间训练，学校准备从体育用品商场一次性购买若干篮球和跳绳.每个篮球的价格都相同，每根跳绳的价格也相同.已知篮球的单价比跳绳单价的2倍少15元，用相同的费用，购买的跳绳数量与购买的篮球数量之比为 $3 ： 2$ .

(1)、跳绳和篮球的单价各是多少元？

(2)、根据学校实际情况，需一次性购买跳绳和篮球共1600个，但要求跳绳和篮球的总费用不超过57400元，学校最多可以购买多少个篮球？

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23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 边上的一点，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $B C = B D$ ，连接 $C D$ 交 $B E$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $B E$ 是 $C D$ 的垂直平分线；

(2)、若点 $D$ 为 $A B$ 的中点， $F E = \sqrt{3}$ ，求 $A C$ 的长.

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24. 俄罗斯人与乌克兰人本是同根同源的罗斯人，现在却背道而驰，正如 $y^{2} = a x$ 与 $y = a x^{2}$ ，定义： $y^{2} = a x$ 叫做函数 $y = a x^{2}$ 的“罗斯函数”.比如： $y^{2} = x$ 就是 $y = x^{2}$ 的“罗斯函数”.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 $y = a x^{2} (a \neq 0$ 的常数），若点 $(m ， n)$ 在函数 $y = a x^{2}$ 的图象上，则点 $(- m ， n)$ 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 $y$ 轴对称.根据上面的定义和提示，解答下列问题：

(1)、 $y^{2} = x$ 的图象的对称轴是；

(2)、在如图所示的平面直角坐标系中画出 $y = 2 x^{2}$ 的“罗斯函数”的大致图象；

(3)、若直线 $y = k x - 4 k (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点A，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $y = 2 x^{2}$ 的“罗斯函数”图象交于 $C$ 、 $D$ 两点，过点 $D$ 作DE⊥x轴，垂足为点 $E$ ，过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，若△AFC与△AED的面积比为1：4，求 $k$ 的值.

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25. 已知 $⊙ O$ 为 $Δ A B C$ 的外接圆， $A C = B C$ ，点 $D$ 是劣弧 $\hat{A B}$ 上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $D A$ ， $D B$ ， $D C$ .

(1)、如图1，若 $A B$ 是直径，将 $Δ A C D$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $Δ B C E$ .若 $C D = 4$ ，求四边形 $A D B C$ 的面积；

(2)、如图2，若 $A B = A C$ ，半径为2，设线段 $D C$ 的长为 $x$ .四边形 $A D B C$ 的面积为 $S$ .
①求 $S$ 与 $x$ 的函数关系式；
②若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $C A$ ， $C B$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置. $Δ D M N$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化.求所有 $t$ 值中的最大值，并求此时四边形 $A D B C$ 的面积 $S$ .

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