2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章二次函数（优生集训）5

试卷更新日期：2022-04-22 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y_{1}$ （元/千克）和成本价 $y_{2}$ （元/千克）关于时间 $t$ 的函数关系式分别为 $y_{1} = - \frac{1}{2} t + 60$ （ $0 < t \leq 40$ ，且 $t$ 为整数）； $y_{2} = {\begin{matrix} - \frac{1}{3} t + 30 \\ 20 \end{matrix} \begin{matrix} (0 < t \leq 30 ，且 t 为整数) \\ (30 < t \leq 40 ，且 t 为整数) \end{matrix}$ ，他们的图象如图1所示，未来40天的销售量 $m$ （千克）关于时间 $t$ 的函数关系如图2的点列所示.

(1)、求 $m$ 关于 $t$ 的函数关系式；

(2)、哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠 $a$ 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求 $a$ 的最大值（精确到0.01元）.

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2. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）

(1)、①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 ▲ 元/件；当售价是 ▲ 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 ▲ 元．

(2)、由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．

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3. 某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ $\frac{1}{4}$ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠.

(1)、求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；

(2)、应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？

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4. 我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第 $x$ 次线上销售水果 $y$ （吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，

信息2：该水果的销售单价 $p$ （万元/吨）与销售场次 $x$ 之间的函数关系式为

$p = {\begin{array}{l} k_{1} x + 4 ， (1 \leq x \leq 19) \\ 4 + \frac{k_{2}}{x} ， (20 \leq x \leq 35) \end{array}$ ，且当 $x = 3$ 时， $p = 4.6$ ；当 $x = 32$ 时， $p = 5$ .

请根据以上信息，解决下列问题.

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为；

(2)、若 $p = 4.8$ （万元/吨），求 $x$ 的值；

(3)、在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？

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5. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类；B类杨梅深加工后再销售，A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨，

(1)、直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

(2)、第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式；

(3)、第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润.

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6. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A B = 4$ .

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、如图，证明：对于 $y$ 轴上任意一点 $D (0 ， b) (b < - 3)$ ，都存在过点 $D$ 的直线交抛物线于 $E$ ， $F$ 两点，使得 $D E = E F$ ；

(3)、将该抛物线在 $- 4 \leq x \leq 0$ 之间的部分图象记为 $Ω$ ，将图象 $Ω$ 在直线 $y = t$ 下方的部分沿 $y = t$ 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m - n \leq 6$ ，求 $t$ 的取值范围.

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7. 在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y₁=kx（k为常数）.

(1)、当t=2时，求k的值；

(2)、经过O，A两点作抛物线y₂=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C.
①用含a，t的式子表示点C的横坐标；

②当t≤x≤t+4时，|y₁﹣y₂|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y₁﹣y₂|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围.

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8. 在平面直角坐标系中，A，B分别是直线 $y = x - 3$ ，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 上的动点，其横坐标分别为 $m$ ， $n + 2$ .

(1)、点B的纵坐标用含有n的式子可表示为.

(2)、连接AB，当 $A B / / x$ 轴，A在B的右侧且 $A B = 4$ 时，求m的值；

(3)、当 $4 \leq m \leq 7$ ， $- 3 \leq n \leq \frac{1}{2}$ 时，作直线AB交y轴于点C，请直接写出C点纵坐标y的取值范围.

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x²＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.

(1)、求c、b（用含t的代数式表示）；

(2)、当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S= $\frac{21}{8}$ ；

③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.

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10. 汈汊湖素有鱼米之乡的美誉，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售.若每天放养的费用均为400元，收购成本为300000元.设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（ $kg$ ），销售单价为y元/ $kg$ .根据以往经验可知：m与t的函数关系为 ${\begin{array}{l} 20000 (0 \leq t \leq 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t \leq 100) \end{array}$ ；y与t的函数关系如图所示.

(1)、分别求出当 $0 \leq t \leq 50$ 和 $50 < t \leq 100$ 时，y与t的函数关系式；

(2)、设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为w元，求当t为何值时，w最大？并求出最大值.（利润=销售总额-总成本）

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11. 小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称.

(1)、下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是；
① $y = - 2 x$ ；② $y = x - 3$ ；③ $y = 2 x$ ；④ $y = - 2 x + 3$

(2)、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 4 a (a > 0)$ 的图象上存在不同的两点 $A (m ， - m)$ 与B关于原点对称，其中 $m > 0$ .
①求m及b的值；

②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为 $- 5 a$ ，求此二次函数解析式.

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12. 材料：对抛物线 $y = \frac{1}{2 p} x^{2} (p > 0)$ ，定义：点 $F (0 ， \frac{p}{2})$ 叫做该抛物线的焦点，直线 $y = - \frac{p}{2}$ 叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.运用上述材料解决如下问题：
如图所示，已知抛物线C： $y = a x^{2} - 4 a x$ 的图象与x轴交于O、A两点，且过点 $B (1 ， - \frac{3}{4})$ ，

(1)、求抛物线C的解析式和点A的坐标；

(2)、若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线 $C^{'}$ 的图象.
①求抛物线 $C^{'}$ 的焦点坐标和准线方程.

②设M为抛物线 $C^{'}$ 位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标.

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13. 如果某封闭图形内部存在一个点.过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心.如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题：

(1)、请写出两个常见几何图形是中心等距图形；

(2)、如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），请判断四边形OABD是否为中心等距图形，若是，求出等距中心的坐标；若不是，请说明理由.

(3)、如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1），函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上，过点C作x轴垂线交函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形，求点C横坐标的范围.

(4)、如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）.B（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）²及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围.

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14. 如图，边长为5的正方形 $O A B C$ 的两边在坐标轴上，以点 $M (0 ， 4)$ 为顶点的抛物线经过点 $N (- 4 ， 0)$ ，点 $P$ 是抛物线上第一象限内一点，过 $P$ 点作 $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，点 $E$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ .连接 $P E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $P E - P F$ 的值；

(3)、①在点 $P$ 运动过程中，当 $∠ E P F = 60 °$ 时，点 $P$ 的坐标为；
②连接 $E F$ ，在①的条件下，把 $△ P E F$ 沿 $y$ 轴平移（限定点 $E$ 在射线 $M O$ 上），并使抛物线与 $△ P E F$ 的边始终有两个交点，探究 $P$ 点纵坐标 $n$ 的取值范围是多少？

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15. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点M为抛物线第二象限上一点，连接 $O M$ 交线段 $A C$ 于点D， $△ A O D$ 与 $△ C O D$ 的面积比为 $1 ： 3$ .
①求点M的坐标；
②过点D作直线 $l ⊥ x$ 轴，点E是直线l上的点，点F是抛物线上一动点，是否存在这样的E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E，F的坐标：若不存在，请说明理由.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），且点 $A$ 的坐标为 $(\sqrt{3} ， 0)$ ，连接 $B C$ ，过点 $A$ 作 $A D / / B C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ， $O B = 3 O A$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点 $E$ 为射线 $A D$ 上一点，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，求四边形 $P B E C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、如图2，将原抛物线沿 $x$ 轴正方向平移得到新抛物线 $y$ ， $y$ 经过点 $C$ ，平移后点 $A$ 的对应点为点 $A$ ，点 $N$ 为线段 $A D$ 的中点，点 $Q$ 为新抛物线 $y$ 的对称轴上一点，在新抛物线 $y$ 上存在一点 $M$ ，使以点 $M$ ， $Q$ ， $A$ ， $N$ 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 $M$ 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程.

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17. 如图，抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c$ ，与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $O A = 2 O B$ .

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、将其图象在 $A$ ， $C$ 之间的部分（含 $A$ ， $C$ 两点）记为 $G$ ，若二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + m$ 的图象与 $G$ 只有一个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6 (a \neq 0)$ 过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴的交点为C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点C关于x轴的对称点为点D，该抛物线上是否存在点P，使得以点A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、试画出函数 $y = | a x^{2} + b x + c |$ 的大致图象，并直接写出方程 $| a x^{2} + b x + c | - x = 6$ 的根的个数.

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19. 已知抛物线y＝ax²+bx.

(1)、若抛物线与一次函数y＝﹣x﹣1有且只有一个公共点，求a、b满足的关系式；

(2)、设点Q为抛物线上的顶点，点P为平面内一点，若点P坐标为(2，﹣2)， $S_{△ O P Q}$ ＝3，且OP＞OQ，抛物线经过点A(m，n)和点B(4﹣m，n)，直线PB与抛物线的另一交点为C.
①求抛物线的解析式；

②证明：对于任意实数m，直线AC必过一定点.

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ 的对称轴为直线x=1.

(1)、求a的值；

(2)、若点M( $x_{1}$ , $y_{1}$ ),N( $x_{2}$ , $y_{2}$ )都在此抛物线上，且-1＜ $x_{1}$ ＜0，1＜ $x_{1}$ ＜2.比较 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

(3)、设直线y=m(m＞0)与抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 交于A、B，与抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ 交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.

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21. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $G$ ： $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ （ $a > 0$ ）．

(1)、若抛物线过点 $A (- 1 ， 6)$ ，求出抛物线的解析式；

(2)、当 $1 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 的最小值是 $- 1$ ，求 $1 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 的最大值；

(3)、已知直线 $y = - x + 1$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 1$ （ $a > 0$ ）存在两个交点，若两交点到 $x$ 轴的距离相等，求 $a$ 的值；

(4)、如图2，作与抛物线 $G$ 关于 $x$ 轴对称且对称轴相同的抛物线 $G^{'}$ ，当抛物线 $G$ 与抛物线 $G^{'}$ 围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出 $a$ 的取值范围．

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22. 定义：如果二次函数y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁ ， b₁ ， c₁是常数）与y＝a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂ ， b₂ ， c₂是常数）满足a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，则这两个函数互为“N”函数.

(1)、写出y＝﹣x²+x﹣1的“N”函数的表达式；

(2)、若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象只有两个交点，求k的值；

(3)、如图，二次函数y₁与y₂互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y₁与y₂图象的顶点，C是“N”函数y₂与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（﹣2，1）且△ABC为直角三角形，求点C的坐标.

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23. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ，已知 $O A = 2 O C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{21}{2}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P Q // y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ .抛物线上是否存在点 $P$ ，使以 $P$ ， $Q$ ， $O$ ， $C$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C ： y = a x^{2} + 2 x - 1 (a \neq 0)$ 和直线l：y=kx+b，点A(-3，-3)，B(1，-1)均在直线l上.

(1)、若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

(2)、当a=-1，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x - 1$ 的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；

(3)、若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围.

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $C (0 ， 3)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ （点 $B$ 在点 $A$ 的右边），且 $O B = O C$ .

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、如图1，点 $D$ 、 $E$ 在直线 $x = 1$ 上的两个动点，且 $D E = 1$ ，点 $D$ 在点 $E$ 的上方，求四边形 $A C D E$ 的周长的最小值；

(3)、如图2，点 $P$ 为抛物线上一点，连接 $C P$ ，直线 $C P$ 把四边形 $C B P A$ 的面积分为3：5两部分，求点 $P$ 的坐标.

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售价x（元/件）	60	70	80
周销售量y（件）	100	80	60
周销售利润w（元）	2000	2400	2400

2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章 二次函数 （优生集训）5

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2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章二次函数（优生集训）5