2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章二次函数（优生集训）4

试卷更新日期：2022-04-22 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）

1≤x＜50

50≤x≤90

售价（元/件）

x＋40

90

每天销售（件）

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程.若前49天销售获得的最大日利润为5408元，则m＝.

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2. 如图1，已知抛物线y＝ax²经过点（﹣2，1）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若直线y＝ $\frac{1}{2}$ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S_△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S_△PCD的最大值；

(3)、如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.

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3. 已知抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C（0，3），顶点坐标（﹣2，﹣1）.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、如图1，点D在第二象限的抛物线上，且∠CBO＝∠CBD，求点D的坐标.

(3)、如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M、N在新抛物线上且M在N的左侧，过M、N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作EF∥y轴交MN于F，交抛物线于G，求证：G是EF中点.

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4. 已知抛物线y＝ $\frac{1}{4}$ x²＋bx＋c的顶点（0，1）.

(1)、该抛物线的解析式为；

(2)、如图1，直线y＝kx＋kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t²的大小关系.

(3)、如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM＋ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

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5. 路桥区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖南美白虾，与传统养殖相比，可延迟养殖周期，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季.已知每千克白虾的养殖成本为8元，在某上市周期的70天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系如下： $p = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} t + 20 ， (1 \leq t \leq 40 ， t 为整数) \\ - \frac{1}{2} t + 50 ， (40 < t \leq 70 ， t 为整数) \end{array}$ ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：

(1)、求日销售量y与时间t的函数关系式；

(2)、求第几天的日销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)、在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克白虾，就捐赠 $m (m < 8)$ 元给公益事业.在这前40天中，已知每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.

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6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax²＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上.

(1)、求出直线l的解析式；

(2)、当a＝﹣1，二次函数y＝ax²＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；

(3)、若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.

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7. 如图，抛物线 $y = {ax}^{2} + bx + c$ 与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且 $OA = 3 OB$ .

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、若P是抛物线上且位于直线 $A C$ 上方的一动点，求 $△ ACP$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、在线段 $O C$ 上是否存在一点M，使 $BM + \frac{\sqrt{2}}{2} CM$ 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由.

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8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-3与抛物线y=x²+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.

(1)、n=3m-9（用含m的代数式表示）；

(2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；

(3)、①设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x²+mx+n的最小值；
②若-3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为-4，求m的值.

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式与直线 $l$ 的解析式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点且在直线 $l$ 上方，连接 $P A$ 、 $P D$ ，求当 $Δ P A D$ 面积最大时点 $P$ 的坐标及该面积的最大值；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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10. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度 $y_{1}$ （米）与小钢球运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 $y_{2}$ （米）与它的运动时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．

(1)、直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求出 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

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11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.

(1)、求原抛物线对应的函数表达式；

(2)、在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；

(3)、若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标.

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12. 已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D.

(1)、求证：AD＝CD；

(2)、求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；

(3)、当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S_△PBC＝ $\frac{5}{3}$ S_△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

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13. 某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）.当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车.根据市场行情，现在决定进行降价销售.通过市场调查得到了每辆降价的费用 $y_{1}$ （万元）与月销售量 $x$ （辆）（ $x \geq 4$ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

$x$

4

5

6

7

8

$y_{1}$

0

0.5

1

1.5

2

(1)、请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 $y_{1}$ 与 $x$ 的关系式 $y_{1} =$ ；

(2)、每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- $y_{1}$ -进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量 $x (x \geq 4)$ 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

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14. 如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 6$ 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 $A B$ 的中点，点Q是线段 $O A$ 上一动点（不与点O、A重合）.

(1)、请直接写出点A、点B、点P的坐标；

(2)、连接 $P Q$ ，在第一象限内将 $Δ O P Q$ 沿 $P Q$ 翻折得到 $Δ E P Q$ ，点O的对应点为点E.若 $∠ O Q E = 90 °$ ，求线段 $A Q$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点C.
①若点C在 $Δ P Q E$ 内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 $| C Q - C E |$ 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，平行四边形 $A B C D$ 的 $A B$ 边与y轴交于E点，F是 $A D$ 的中点，B、C、D的坐标分别为 $(- 2 ， 0) ， (8 ， 0) ， (13 ， 10)$ .

(1)、求过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)、试判断抛物线的顶点是否在直线 $E F$ 上；

(3)、设过F与 $A B$ 平行的直线交y轴于Q，M是线段 $E Q$ 之间的动点，射线 $B M$ 与抛物线交于另一点P，当 $△ P B Q$ 的面积最大时，求P的坐标.

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连 $A N$ 交抛物线于M，连 $A C$ 、 $C M$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，当 $\tan ∠ A C M = 2$ 时，求M点的横坐标；

(3)、如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作 $M D ⊥ l$ 于D，若 $M D = \sqrt{3} M N$ ，求N点的坐标.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线 $D C$ 交于另一点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $B E$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E$ ， $B P$ .探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = c = - 2$ ，求方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的判别式的值；

(2)、如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，连接 $A C$ 、 $B D$ ，满足 $∠ A C O = ∠ A B D$ ， $- \frac{b}{a} + c = x_{1}$ .
①求证： $△ A O C ≅ △ D O B$ ；

②连接 $B C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，点 $F (0 ， x_{1} - x_{2})$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $A F$ ，且 $∠ A C O = ∠ C A F + ∠ C B D$ ，求 $\frac{c}{x_{1}}$ 的值.

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19. 抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）.

(1)、 $▱ A C D E$ 的顶点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，顶点 $E$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线上.
①如图（1），若点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 3)$ ，点 $E$ 的横坐标是 $\frac{3}{2}$ ，直接写出点 $A$ ， $D$ 的坐标；

②如图（2），若点 $D$ 在抛物线上，且 $▱ A C D E$ 的面积是12，求点 $E$ 的坐标；

(2)、如图（3）， $F$ 是原点 $O$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$ 轴的直线 $l$ 分别交线段 $A F$ ， $B F$ （不含端点）于 $G$ ， $H$ 两点，若直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，求证 $F G + F H$ 的值是定值.

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20. 红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 $0.1$ 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)、为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，点 $N (n ， 0)$ 是x轴上的动点.
　　　

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若 $n < 3$ ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 $B C$ 于点G.过点P作 $P D ⊥ B C$ 于点D，当n为何值时， $△ P D G ≌ △ B N G$ ；

(3)、如图2，将直线 $B C$ 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 $O C$ 的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位长度，得到直线 $O B_{1}$ .
① $\tan ∠ B O B_{1} =$ ▲ ；

②当点N关于直线 $O B_{1}$ 的对称点 $N_{1}$ 落在抛物线上时，求点N的坐标.

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22. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为 $x = \frac{5}{2}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.

(3)、如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且 $∠ D Q E = 2 ∠ O D Q$ .在y轴上是否存在点F，使得 $△ B E F$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为 $(2 ， - 1)$ .点B为抛物线上一动点，连接 $A P ， A B$ ，过点B的直线与抛物线交于另一点C.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若点B的横坐标与纵坐标相等， $∠ A B C = ∠ O A P$ ，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

(3)、若点B的横坐标为t， $∠ A B C = 90 °$ ，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当 $t < 0$ 时，点C的横坐标的取值范围.

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24. 已知抛物线 $y = x^{2} - (m + 1) x + 2 m + 3$

(1)、当 $m = 0$ 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

(2)、该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

(3)、已知点 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (3 ， 7)$ ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

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25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线 $x = - 1$ ，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.

(1)、求抛物线的解析式和m的值；

(2)、在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)、直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

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