北师大版备考2022中考数学二轮复习专题23 与圆有关的计算

试卷更新日期：2022-04-22 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $6 π$

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2. 如图， $⊙ O$ 的半径为1，弦 $A B = \sqrt{2} ， B C = \sqrt{3} ， A B ， B C$ 在圆心O的两侧，求 $\overset{⌢}{A C}$ 上有动点 $D ， A E ⊥ B D$ 于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（）

A、 $3 π$ B、 $\frac{3}{5} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{12} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12} π$

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3.
如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{2}$ B、 $π - \frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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4. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若 $⊙ O$ 的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $π$ D、 $2 π$

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5. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A B = 2$ .以A为圆心， $A B$ 长为半径画 $\overset{⌢}{B D}$ ，点P为菱形内一点，连 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ .若 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A、1 B、 $8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $20 - 10 \sqrt{3}$

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S₁ ， △ABC面积为S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是（　　）

A、 $\frac{5 π}{2}$ B、3π C、5π D、 $\frac{11 π}{2}$

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8. 如图，六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会．圆桌的半径为80cm，每人离桌边10cm，又后来两位客人，每人向后挪动了相同距离并左右调整位置，使8个人都坐下，每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为xcm．则根据题意，可列方程为（）

A、 $\frac{60 π (80 + 10)}{180} = \frac{45 π (80 + 10 + x)}{180}$ B、 $\frac{45 π \times 80}{180} = \frac{36 π (80 + x)}{180}$ C、2π（80+10）×8=2π（80+x）×10 D、2π（80﹣x）×10=2π（80+x）×8

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ .以点A为圆心， $A B$ 为半径作 $\overset{⌢}{B D}$ ，向菱形内部作 $\overset{⌢}{B C}$ ，使 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $3 \sqrt{3} - \frac{4 π}{3}$ C、 $2 \sqrt{3} - \frac{2 π}{3}$ D、 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$

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10. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{7}{12} π + \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{12} π$ C、 $\frac{7}{12} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2}{3} π$

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二、填空题

11. 如图，△ABC内接于半径为 $\sqrt{5}$ 的半圆O中，AB为直径，点M是 $\overset{⌢}{AC}$ 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为；BC的长为.

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是.

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14.
如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 .

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15. 如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为．

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16.
如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 $x$ 轴上，B在第二象限。△ABO沿 $x$ 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A₁B₁O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为.

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17. 如图，在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ．则 $S_{1} - S_{2}$ =。

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18. 如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点（不与A、B重合），点F是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，B，且∠EOF＝90°．有下列结论：① $\overset{⌢}{A E}$ ＝ $\overset{⌢}{B F}$ ；②四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；③△GBH周长的最小值为2+ $\sqrt{2}$ ；④若BG＝1﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则BG，GE， $\overset{⌢}{B E}$ 围成的面积是 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{6}$ ，其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）

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三、作图题

19. 如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：

(1)、在图1中，画出一条弦与AD相等；

(2)、在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．

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四、解答题

20. 如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示）．

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21. ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与 $⊙$ O相切于点D．
求证：AC是 $⊙$ O的切线．

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五、综合题

22. 如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.

(1)、若∠BAC=60°，
①求证：OD= $\frac{1}{2}$ OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。

(2)、点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求证：m-n+2=0.

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23. 如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 $D C ⊥ A E$ 交AE的延长线于点C.

(1)、求证：CD是⊙O的切线.

(2)、若 $A C = 9$ ，求阴影部分的面积.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合），连接BE．取CD的中点P，连接AP．

(1)、如图（1），当点E落在线段AC上时，
① $\frac{A P}{B E} =$ ；
②直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为．请给予证明．

(2)、如图（2），当点E落在平面内其他位置时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、若 $A C = 6$ ， $C P = 3$ ，当点B，D，E在同一条直线上时，请直线写出线段AP的长．

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25. 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.

(1)、求证：DE与⊙O相切；

(2)、若AB＝5，BE＝4，求BD的长；

(3)、请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．

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