湖南省新高考教学教研联盟2022届高三下学期数学4月第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | | x | < 3 ， x \in R}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、（1） B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知 $z = 3 + 4 i$ ，则 $z (| z | - i) =$ （）

A、 $11 + 17 i$ B、 $19 + 17 i$ C、 $11 - 17 i$ D、 $19 + 23 i$

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3. 已知圆锥的底面直径为 $\sqrt{2}$ ，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，则其侧面展开图扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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4. 下列直线中，函数 $f (x) = 7 s i n (x - \frac{π}{6})$ 的对称轴是（）

A、 $x = \frac{π}{3}$ B、 $x = \frac{2 π}{3}$ C、 $x = \frac{π}{6}$ D、 $x = \frac{π}{2}$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，点 $P$ ､ $Q$ 均在椭圆上，且均在 $x$ 轴上方，满足条件 $P F_{1} / / Q F_{2}$ ， $| P F_{1} | = \frac{3}{2}$ ，则 $| Q F_{2} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{12}{7}$

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6. 设 $s i n 20 ° = m$ ， $c o s 20 ° = n$ ，化简 $\frac{1 + t a n 10 °}{1 - t a n 10 °} - \frac{2 c o s 70 °}{c o s 50 °} =$ （）

A、 $\frac{n}{m}$ B、 $- \frac{m}{n}$ C、 $\frac{m}{n}$ D、 $- \frac{n}{m}$

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7. 已知 $f (x) = x^{3} - x$ ，如果过点 $(2 ， m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线.则下列结论中正确的是（）

A、 $- 1 < m < 8$ B、 $0 < m < 7$ C、 $- 3 < m < 5$ D、 $- 2 < m < 7$

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8. 甲､乙两个质地均匀且完全一样的正方体骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.同时抛掷这两个骰子在水平桌面上，记事件 $A$ 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 $B$ 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件 $C$ 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是（）

A、 $P (A) = P (B) = P (C)$ B、 $P (B C) = P (A C) = P (A B)$ C、 $P (A) \cdot P (B) \cdot P (C) = \frac{1}{8}$ D、 $P (A B C) = \frac{1}{8}$

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二、多选题

9. 已知由样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ ，且 $\bar{x} = 2$ ，去除两个歧义点 $(- 2 ， 1)$ 和 $(2 ， - 1)$ 后，得到新的回归直线的斜率为3，在下列说法正确的是（）

A、相关变量 $x$ ， $y$ 具有正相关关系 B、去除歧义点后，样本 $(4 ， 8.9)$ 的残差为0.1 C、去除歧义点后的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x - 3$ D、去除歧义点后，随 $x$ 值增加相关变量 $y$ 值增加速度变小

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10. 设点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{C O} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B} (λ ， μ \in R)$ ，下列命题为真命题的是（）

A、若 $λ + μ = 1$ ，则 $C = \frac{π}{2}$ B、若 $\vec{O A} / / \vec{O B}$ ，则 $λ^{2} + μ^{2} = 1$ C、若 $△ A B C$ 是正三角形，则 $λ + μ = \frac{2}{3}$ D、若 $λ + μ > 1$ ， $\vec{A B} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{C O} = (2 ， 4)$ ，则四边形 $A O B C$ 的面积是 $5$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ､ $F$ ､ $G$ 分别为 $B C$ ､ $C C_{1}$ ､ $B B_{1}$ 的中点.则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ D、四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 与四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的公共部分的体积是 $\frac{4}{3}$

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12. 已知点 $P$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上，点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，则（）

A、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最大值为 $\frac{22}{5}$ B、满足 $A P ⊥ B P$ 的点 $P$ 有2个 C、过点 $B$ 作圆 $O$ 的两切线，切点分别为 $M$ ､ $N$ ，则直线 $M N$ 的方程为 $y = 1$ D、 $2 | P A | + | P B |$ 的最小值是 $2 \sqrt{10}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a + \frac{2^{x + 1}}{2^{x} - 1}$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 若 $A$ 、 $B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的不同两点，弦 $A B$ （不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P (4 ， 0)$ ，则弦 $A B$ 中点的横坐标为.

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15. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + l n | x |$ 的极值点为.

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16. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项的积记为 $a_{n}$ ，令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，则 $b_{3} =$ ， $b_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = a_{n}^{2} + 2 (n \geq 2)$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和.

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18. 3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．

(1)、若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

(2)、若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记 $ξ$ 表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量 $ξ$ 的分布列．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，梯形 $A B C D$ 满足 $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ，且 $P D = A D = D C = 2$ ， $A B = 3$ ， $E$ 为 $P C$ 中点， $\vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ， $\vec{P G} = 2 \vec{G A}$ .

(1)、求证： $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 四点共面；

(2)、求二面角 $F - D E - P$ 的正弦值.

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20. 法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a c o s (B - C) = c o s A (2 \sqrt{3} b s i n C - a)$ .以 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， $O_{3}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ 的面积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，双曲线 $C$ 的右顶点 $A$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ 上，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = - 1$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 恰有1个公共点，且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于点 $M$ ､ $N$ ，设 $O$ 为坐标原点.
①求证：点 $M$ 与点 $N$ 的横坐标的积为定值；
②求△ $O M N$ 周长的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a x - l n x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{x - 2} + x ≥ x f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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