河南省开封市2021-2022学年高三下学期理数核心模拟卷（中）（二）

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则 $| z + 1 | =$ （）

A、3 B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{19}$

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2. 若集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、A B、B C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 已知函数 $f (x) = 4 c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象为C，为了得到函数 $g (x) = 4 c o s (4 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只要把C上所有点（）

A、横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，横坐标不变

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (2 + 3 x) ， x \geq 1 ， \\ f (x + 4) ， x < 1 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 2022)) =$ （）

A、2 B、3 C、 $l o g_{2} 9$ D、 $l o g_{2} 11$

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5. 在边长为4的正方形内任取一点，则该点到此正方形的各顶点的距离大于1的概率为（）

A、 $\frac{π}{16}$ B、 $1 - \frac{π}{16}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $1 - \frac{π}{8}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，则直线 $A_{1} D$ 与直线 $B_{1} M$ 所成角大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n 2 x - c o s x$ ， $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 的零点为 $x_{0}$ ，则 $c o s (2 x_{0} + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{14}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{14}}{8}$

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8. 已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点，直线 $y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| F A | + | F B | = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $3 p - 2 m = 8$ B、 $3 p + 2 m = 8$ C、 $2 m - 3 p = 8$ D、 $3 m + 2 p = 8$

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9. 若 ${(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 展开式各项系数和为 $- \frac{1}{128}$ ，则展开式中常数项是第（）项

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $s i n C = 2 \sqrt{3} s i n B s i n A$ ， $b = λ a$ ，则实数 $λ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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11. 已知实数a ， b ， c满足 $a = 6^{\frac{1}{3}}$ ， $b = \log_{7} 8 + \log_{56} 49$ ， $7^{b} + 24^{b} = 25^{c}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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12. 已知 $f (x) = x^{2} - a x - 2$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ， $g (x) = x^{2} - x - 1 - a$ 有两个零点 $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ，若区间 $(x_{3} ， x_{2}) \subseteq (x_{1} ， x_{4})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1$ ] B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{5}{4}]$ D、 $[- \frac{5}{4} ， - 1]$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $k =$ ．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2 m - 4} = 1$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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15. 直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的各个顶点都在球O的球面上，且 $A B = A C = 1 ， B C = \sqrt{2}$ ．若球O的表面积为 $3 π$ ，则这个三棱柱的体积是．

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16. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量 $X ~ B (n ， p)$ ，记 $p_{k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ ， $k = 0$ ， 1，2，…，n．在研究 $p_{k}$ 的最大值时，该小组同学发现：若 $(n + 1) p$ 为正整数，则 $k = (n + 1) p$ 时， $p_{k} = p_{k - 1}$ ，此时这两项概率均为最大值；若 $(n + 1) p$ 为非整数，当k取 $(n + 1) p$ 的整数部分，则 $p_{k}$ 是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为的概率最大．

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三、解答题

17. 某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校120名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．已知a，b，c成等差数列，分值在[90，100]的人数为12．

(1)、求图中a，b，c的值；

(2)、若思想道德分值的平均数、中位数均超过75，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = - \frac{3}{4}$ ，且 $- 2 S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $4 S_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的公比q和通项 $a_{n}$ ；

(2)、设 $T_{n} = 1 - S_{n}$ ，求满足 $| T_{n} | > \frac{1}{2022}$ 的n的最大值．

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19. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = 2$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B D F ⊥$ 平面 $D C F$ ；

(2)、求二面角 $A - B E - F$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $M (\frac{4 \sqrt{3}}{3} ， 0)$ 且 $| F_{2} M | = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若不垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $a$ ， $b$ 均为整数，且满足 $A M$ 与 $B M$ 关于 $x$ 轴对称，求证：直线 $A B$ 过定点．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = a x + 1$ ．

(1)、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数a的值；

(2)、若 $x \in (0 ， 1)$ ，求证： $\frac{1 - l n x}{f (x)} + x - \frac{1}{x} < 1$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ - 1 \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、若点 $P$ 的直角坐标是 $(0 ， 4)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ P A B$ 的面积．

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23. 已知 $f (x) = | 2 - a x | + x$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，解不等式 $f (x) < 8$ ；

(2)、若 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq {(x + 1)}^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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