河南省焦作市2021-2022学年高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{- i}{2 + i} - i^{5}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | \frac{- 1}{x + 1} < x}$ ， ${x | y = l o g_{2} \sqrt{4 - x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 4 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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3. 已知 $c o s 2 x + \sqrt{3} s i n 2 x = \sqrt{3}$ ，则x的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分 $ξ$ 服从正态分布 $N (480 ， σ^{2})$ ，若 $P (430 \leq ξ \leq 530) = 0.78$ ，则总分高于530分的考生人数为（）

A、2400 B、3520 C、8520 D、12480

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5. 在边长为2的正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{A C} \cdot \vec{B F} =$ （）

A、-6 B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、18 B、24 C、48 D、60

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7. 已知 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 6 \geq 0 \\ 2 x + y + 2 \geq 0 \\ 4 x - y - 8 \leq 0 \end{array}$ ，则 $3 x - 2 y$ 的最大值为（）

A、1 B、4 C、7 D、11

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8. 某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为0.3，0.4，0.3，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为0.4，0.2，0.5，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为（）

A、0.25 B、0.35 C、0.65 D、0.75

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若方程 $| f (x) | = 1$ 在区间 $(0 ， 2 π)$ 上恰有5个实根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{6} ， \frac{5}{3}]$ B、 $(\frac{5}{3} ， \frac{13}{6}]$ C、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{3}{2}]$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过F的直线 $l$ 与双曲线的右支、渐近线分别交于点A，B，且 $A F ⊥ O B$ （ $O$ 为坐标原点）， $\vec{B F} = 2 \vec{A F}$ ，则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、4

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11. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱与底面所成角的正切值为 $\sqrt{5}$ ，若该正四棱锥的外接球的体积为 $\frac{72 \sqrt{10}}{25} π$ ，则 $△ P B D$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x + 1} + a} (a \in R)$ 为奇函数，且 $y = f (x)$ 的图象和函数 $g (x) = m + 2^{x}$ 的图象交于不同的两点A，B，若线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $y = \frac{1}{4}$ 上，则 $g (x)$ 的值域为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为

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14. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F作斜率为k的直线 $l$ ， $l$ 与C交于A，B两点，若 $| A B | = \frac{5}{2} p$ ，则 $k =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 $2 s i n A s i n C = 1 + 2 c o s A c o s C$ ， $a + c = 3 s i n B$ ，则b的最小值为.

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16. 函数 $f (x) = e^{x - 1} - a l n x - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} a_{6} = 27$ ， $S_{5} = - 15$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{- a_{n + 1}}{2^{a_{n}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F / / D E$ ， $A D = D E = 2 A B = 2 A F = 2$ ， $O$ 为 $A C$ 与BD的交点，点H为棱 $C E$ 的中点.

(1)、求证： $O H / /$ 平面ADEF；

(2)、求二面角 $C - B H - F$ 的余弦值.

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19. 小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位： $m^{2}$ ）和日均客流量y（单位：百人）的数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 20)$ ，并计算得 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 2400$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 210$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 42000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6300$ .
附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求y关于x的回归直线方程；

(2)、已知服装店每天的经济效益 $W = k \sqrt{y} + m x (k > 0 ， m > 0)$ ，该商场现有 $60 ~ 150 m^{2}$ 的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为曲线 $y = 2 x^{2} - 6$ 与x轴的交点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过C的下焦点作一条斜率为k的直线l，l与椭圆C相交于点A与B， $O$ 为坐标原点，求 $△ O A B$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = x (e^{a x} - 2)$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $f (x)$ 的一个零点为 $x_{0} (x_{0} \neq 0)$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线方程；

(2)、若当 $x > 0$ 时，不等式 $a [\frac{f (x)}{x} + 3] \geq 2 (x + \frac{1}{x}) \cdot l n x$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - 2 c o s α ， \\ y = 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2}{s i n θ + c o s θ}$ .

(1)、求C的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与C交于A，B两点， $P (5 ， - 3)$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | - | x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 2 x - 2$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为t，正实数a，b，c满足 $a + b + c = \frac{1}{5} t$ ，求证： $\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{b + 2 c} \geq 2$ .

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