河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期理数第三次素养调研试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $B = {0 ， 1 ， 2} ， C = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，非空集合A满足 $A \subseteq B ， A \subseteq C$ ，则符合条件的集合A的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = | 4 - 3 i |$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、2＋i B、2－i C、1＋2i D、1－2i

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3. 某街道甲，乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如下的条形图所示．该街道体协为普及群众健身养生活动，准备举行一个小型太极拳表演，若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演；则丙小区应抽取的人数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{b^{2} + 3} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ．则 $b =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、9

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 ， 0)$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，在圆 $O$ 上任取一点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，则直线 $P Q$ 的斜率大于 $- \sqrt{3}$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l₁ ， l₂ ， l₃ ，以C为圆心､CB为半径作劣弧BC₁交l₁于点C₁；以A为圆心､AC₁为半径作劣弧C₁A₁交l₂于点A；以B为圆心､BA₁为半径作劣弧A₁B₁交l₃于点B₁ ， …，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC₁的长，劣弧C₁A₁的长，劣弧A₁B₁的长，…依次为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ，$ 则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} =$ （）

A、30π B、45π C、60π D、65π

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7. 已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在边 $A C$ 上；且 $\vec{A E} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ ；设 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $P$ ，当 $λ$ 变化时，记 $m = \vec{B P} \cdot \vec{B C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 随 $λ$ 的增大而增大 B、 $m$ 先随 $λ$ 的增大而增大后随 $λ$ 的增大而减少 C、 $m$ 随 $λ$ 的增大而减少 D、 $m$ 为定值

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8. 设 $α$ 是给定的平面， $A$ 和 $B$ 是不在 $α$ 内的任意两点，给定下列命题：
①在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 异面 ②在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 相交

③存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 垂直 ④存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 平行

以上一定正确的是（）

A、②③ B、①④ C、②④ D、①③

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9. 快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：

	体积（立方分米/件）	重量（千克/件）	快递员工资（元/件）
甲批快件	20	10	8
乙批快件	10	20	10

快递员小马接受派送任务；小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大截重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）

A、150元 B、170元 C、180元 D、200元

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x \geq 1 \\ - \ln (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ 则方程 $(x - 1) f (x) = 1$ 的所有实根之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、1

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 上不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{7}{12}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{12}] \cup [\frac{1}{6} ， \frac{7}{12}]$ C、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{12} ， 1]$ D、 $[\frac{1}{12} ， \frac{7}{12}]$

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12. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F_{2} T$ 交双曲线 $E$ 的左支于点 $P$ ．若 $| P F_{2} | > 2 | T F_{2} |$ ，则双曲线 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(2 ， \sqrt{6})$ B、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{5})$

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二、填空题

13. 若 $(1 - 3 x)^{n}$ 展开式中各项系数的和等于64，则展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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14. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面ABC， $A C ⊥ B C$ ， $P A = A B = 2 B C = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 ， a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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16. 对函数 $f (x) ，$ 若存在区间 $M = [a ， b] (a < b) ，$ 使得 ${y | y = f (x) ， x \in M} = M ，$ 则称区间 $M$ 为函数 $f (x)$ 的一个“稳定区间”，给出下列四个函数：
（1） $f (x) = e^{x} ，$ （2） $f (x) = x^{3} ，$ （3） $f (x) = c o s \frac{π}{2} x ，$ （4） $f (x) = l n x + 1 ，$ 其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上））

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 3$ ，从以下三个条件中任选一个：① $b \tan C = (2 a - b) \tan B$ ；② $2 c \cos B = 2 a - b$ ；③ $a c \cos A + a^{2} (\cos C - 1) = b^{2} - c^{2}$ ，解答如下的问题

(1)、证明： $a = \sqrt{3} \sin B + 3 \cos B$ ；

(2)、若 $A B$ 边上的点 $P$ 满足 $A P = 2 P B$ ，求线段 $C P$ 的长度的最大值.

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18. 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别 $[150 ， 250)$ ， $[250 ， 350)$ ， $[350 ， 450)$ ， $[450 ， 550)$ ， $[550 ， 650]$ （单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．

(1)、估计这组数据的平均数；

(2)、在样本中，按分层抽样从质量在 $[250 ， 350)$ ， $[350 ， 450)$ 中的芒果中随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；

(3)、某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收购；

方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．

请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

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19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马” $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D A$ ，点 $E$ 是 $P A$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(2)、若平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 所成的二面角为 $60 °$ ，求 $\frac{A D}{D C}$ .

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20. 已知抛物线 $T ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，直线 $y = k x + 1$ 交 $T$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且当 $k = 1$ 时， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、如图，抛物线 $T$ 在 $A$ 、 $B$ 两点处的切线分别与 $y$ 轴交于 $C$ 、 $D$ ， $A C$ 和 $B D$ 交于 $G$ ， $\vec{G C} + \vec{G D} + \vec{G E} = \vec{0}$ .证明：存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{G E} = λ \vec{A B}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = a x \ln x + x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，求证： $f (x) < e^{x} - \sin x + 1$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{array}{l} x = a + a c o s φ \\ y = a s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数，实数 $a > 0$ ），曲线 $C_{2}$ ： ${\begin{array}{l} x = b c o s φ \\ y = b + b s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数，实数 $b > 0$ ）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l： $θ = α$ ，（ $ρ \geq 0$ ， $0 \leq α \leq \frac{π}{2}$ ）与 $C_{1}$ 交于O，A两点，与 $C_{2}$ 交于O，B两点．当 $α = 0$ 时， $| O A | = 1$ ；当 $α = \frac{π}{2}$ 时， $| O B | = 2$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $2 {| O A |}^{2} + \sqrt{3} | O A | \cdot | O B |$ 的最大值．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x - 2 | - a$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在R上恒成立.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、设实数a的最大值为m，若正数b，c满足 $\frac{1}{c} + \frac{2}{b} = m$ ，求bc+c+2b的最小值.

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