河北省石家庄市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x \in Z | \frac{x + 3}{x - 1} < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 3 ， 1)$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 + 3 i$ ，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{7}{5}$ 则sin2 $α$ 等于（）

A、- $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、- $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{2021} = 6$ ，则 $S_{2022} =$ （）

A、3033 B、4044 C、6066 D、8088

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5. 图形是信息传播､互通的重要的视觉语言《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面､左面､上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、12π B、24π C、48π D、96π

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $M ， N$ 分别是 $A D$ ， $C D$ 的中点，若 $\vec{B M} = \vec{a} ， \vec{B N} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

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7. 已知，点P是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点 $M (3 ， 4)$ ，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $2 \sqrt{5} + 1$

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8. 已知 $x = {(\frac{4}{3})}^{\frac{5}{4}} ， y = l o g_{4} 5 ， z = l o g_{3} 4$ ，则x､y､z的大小关系为（）

A、 $y > x > z$ B、 $x > y > z$ C、 $z > x > y$ D、 $x > z > y$

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二、多选题

9. 设a，b为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $a ∥ b ， b ∥ α$ ，则 $a ∥ α$ B、若 $a ∥ b ， a ∥ α ， b ∥ β$ ，则 $a ∥ β$ C、若 $a ⊥ b ， a ⊥ α ， b ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α ， b ∥ α$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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10. 设正实数m，n满足 $m + n = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 上的最小值为2 B、 $m n$ 的最大值为1 C、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的最大值为4 D、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{4}$

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11. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 11$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 m y + m^{2} - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{2}$ 与x轴相切，则 $m = 2$ B、若 $m = - 3$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 C、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 $4 x + (6 - 2 m) y + m^{2} + 2 = 0$ D、直线 $k x - y - 2 k + 1 = 0$ 与圆 $C_{1}$ 始终有两个交点

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (s i n x) + c o s (c o s x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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三、填空题

13. 某中学高一､高二､高三年级的学生人数分别为1200､1000､800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为.

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14. 在 $(3 + y) (x - y)^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 的系数为.

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15. 已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 在第一象限相交于点P.且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，若椭圆 $C_{1}$ 的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的离心率的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x < 3 \\ s i n (\frac{π}{6} x) ， 3 \leq x \leq 15 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ .满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} =$ ， $(x_{3} - 3) (x_{4} - 3)$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $b = 2$ ， $c s i n \frac{B + C}{2} = a s i n C$

(1)、求角A的大小；

(2)、请在① $s i n B = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ② $a + c = 7$ 两个条件任选一个，求 $△ A B C$ 的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = S_{n} + 2 (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot (l o g_{\frac{3}{2}} a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组： $[0 ， 10) ， [10 ， 20) ， [20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， 60]$ .并绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；

(2)、视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在 $[40 ， 60]$ 的概率为 $P (X = k)$ ， $k = 0 ， 1 ， 2$ ， …，20.请估计这20名市民的作答成绩在 $[40 ， 60]$ 的人数为多少时 $P (X = k)$ 最大？并说明理由.

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20. 已知点 $E (\sqrt{2} ， 0)$ ， $F (\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ ，点A满足 $| A E | = \sqrt{2} | A F |$ ，点A的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与双曲线： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 交于M，N两点，且 $∠ M O N = \frac{π}{2}$ （O为坐标原点），求点A到直线距离的取值范围.

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21. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是矩形，P为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点.且 $P A = P B$ ， F为 $C D$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥ P F$ ；

(2)、若 $A B = A D = P D = 2$ .当直线PB与平面 $P C D$ 所成的角为 $45 °$ ，且二面角 $P - C D - A$ 的平面角为锐角时.求三棱锥 $B - A P D$ 的体积.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot s i n r x (r \in N^{*})$ ，其中e为自然对数的底数.

(1)、若 $r = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：对于任意的正实数M，总存在大于M的实数a，b，使得当 $x \in [a ， b]$ 时， $| f (x) | \leq 1$ .

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