河北省保定市2022届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{| x |}}$ ，集合 $B = {x | x \geq 3}$ ，则 $A ∩ ∁_{R} B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，复数 $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知 $a = \sqrt[3]{23}$ ， $b = l o g_{3} 7$ ， $c = l n 27$ ，则a， $b$ ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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4. 已知某商品的进价为4元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量y（件）与商品售价 $x$ （元）的关系为 $y = e^{- x}$ ，则当此商品的利润最大时，该商品的售价x（元）为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 已知三棱锥 $P - A B C$ ，其中 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $P A = A B = A C = 2$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、12π B、16π C、20π D、24π

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则下面描述不正确的是（）

A、 $ω = \frac{π}{3}$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (2) = 1$ D、 $f (3) = - \frac{1}{2}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，在右支上存在点P，Q，使得 $P O Q F$ 为正方形（ $O$ 为坐标原点），设该双曲线离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $3 + \sqrt{5}$ C、 $\frac{9 + \sqrt{65}}{2}$ D、 $9 + \sqrt{65}$

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8. 已知函数 $f (x) = 3 + 2 a x l n x$ （ $a \in R$ ）图象上存在点M，函数 $g (x) = 2 - 4 a e l n (2 - x)$ （e为自然对数的底数）图象上存在点N，且M，N关于点 $(1 ， 1)$ 对称，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2 e}]$ B、 $[\frac{3}{2 e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ [\frac{3}{2 e} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{3}{2 e}] ∪ (0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{O A} = (1 ， 1)$ ，将向量 $\vec{O A}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转90°得到向量 $\vec{O B}$ ，将向量 $\vec{O A}$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转135°得到向量 $\vec{O C}$ ，则（）

A、 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ B、 $| \vec{B C} | = | \vec{C A} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ D、 $\vec{C A} \cdot \vec{A B} = - 2$

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10. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与该椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在该椭圆上，且 $| A B | \geq 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ B、满足 $△ F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 有2个 C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $| P F_{1} | - | P F_{2} |$ 的取值范围为 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 a_{n - 1}$ ，则下面说法正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ 为等差数列 C、 $a_{n} = 3^{n - 1} + 1$ D、 $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}$

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12. 下面描述正确的是（）

A、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \leq - 2$ B、函数 $f (x) = | l g x |$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则a+2b的最小值是 $2 \sqrt{2}$ C、已知 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{2 x + y} = 1 (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $3 x + y$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、已知 $x^{2} + y^{2} - x - y - x y + 2 = 0 (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $x y$ 的最小值为 $\frac{7}{12}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = l n x - \frac{2}{\sqrt{x}} + m$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(0 ， 2)$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有种．

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15. 在如图直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $M$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，若 $N$ 为菱形A₁B₁C₁D₁内一点（不包含边界），满足 $M N ∥$ 平面 $B D C_{1}$ ，设直线 $M N$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角为 $α$ ，则 $t a n α$ 的最小值为.

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16. 已知定义在 $x \in [- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) + s i n 2 x$ 在 $x = θ$ 处取得最小值，则最小值为，此时 $c o s θ =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{l o g_{3} a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = A B = C D = 1$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，现将 $D A C$ 沿 $A C$ 折起至 $P A C$ ，使得 $P B = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - B$ 的余弦值．

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19. 已知在△ $A B C$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $∠ A$ 的角平分线与 $B C$ 相交于点D．

(1)、若 $A C = 2 A B = 2$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $A D = 1$ ，求△ $A B C$ 面积的最小值．

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20. 2021年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2021年1月份到7月份，销量 $y$ （单位：百件）与月份 $x$ 之间的关系．
月份x
1
2
3
4
5
6
7
销量y
6
11
21
34
66
101
196
参考数据：
$\bar{y}$
$\bar{v}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$
$1 0^{0.54}$
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中 $v_{i} = l g y_{i}$ ， $\bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i}$ ．
参考公式：
对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， …， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

(1)、画出散点图，并根据散点图判断 $y = a x + b$ 与 $y = c d^{x}$ （c，d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量 $y$ 与月份 $x$ 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

(2)、根据（1）的判断结果及表中的数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程，并预测2021年8月份的销量；

(3)、考虑销量、产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2021年1月份到12月份（ $x$ 的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为 $P = 1 0^{- 0.05 x^{2} + 0.6 x}$ 元，求2021年几月份该产品的利润 $Q$ 最大．

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21. 直线 $l ： y = k x + t$ 交抛物线 $x^{2} = 4 y$ 于A，B两点，过A，B作抛物线的两条切线，相交于点C，点 $C$ 在直线 $y = - 3$ 上．

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点T，并求出点T坐标；

(2)、以T为圆心的圆交抛物线于 $P Q M N$ 四点，求四边形 $P Q M N$ 面积的取值范围．

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22. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x ， x \geq - 1 \\ x + 3 ， x < - 1 \end{array}$ ， $g (x) = l n (x + a)$ ．

(1)、存在 $x_{0}$ 满足： $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ， $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a \leq 4$ 时，讨论 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$	$1 0^{0.54}$
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

月份x	1	2	3	4	5	6	7
销量y	6	11	21	34	66	101	196