北师大版备考2022中考数学二轮复习专题17 相似三角形

试卷更新日期：2022-04-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（）

A、 $\frac{A D}{A N} = \frac{A N}{A E}$ B、 $\frac{B D}{M N} = \frac{M N}{C E}$ C、 $\frac{D N}{B M} = \frac{N E}{M C}$ D、 $\frac{D N}{M C} = \frac{N E}{B M}$

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3. 正方形 $A B C D$ 的边长 $A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 的中点， $A F$ 分别与 $D E 、 B D$ 相交于点 $M 、 N$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3} - 1$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 在平面直角坐标系中，已知直线l₁：y=-2x+4交y轴于点A，若l₁关于y轴的对称直线为l₂ ，直线l₂的有一个点M ，当M 点到直线l₁的距离小于 $\sqrt{5}$ ，则点M 的横坐标m取值范围是（）

A、-2<m<2 B、-1.75<m<1.75 C、-1.5<m<1.5 D、-1.25<M<1.25

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5. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（）

A、3：2 B、4：3 C、6：5 D、8：5

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6. 如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt△ABC中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{9}{16}$ ，则 $t a n ∠ A C B$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$

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7. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧儿里得在《几何原本》中利用该图解释了 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S₁ ，图中阴影部分的面积为S₂ ．若点A，L，G在同一直线上，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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8. 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF= $\frac{1}{4}$ AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则 $\frac{S_{△ A D G}}{S_{△ B G H}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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9. 如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y = $\frac{k_{1}}{x}$ 和y= $\frac{k_{2}}{x}$ 的图象上，若∠BCD=60°，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值是（）

A、- $\frac{1}{3}$ B、- $\frac{2}{3}$ C、- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、- $\sqrt{3}$

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10.
在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m= $\sqrt{3}$ 时，n的值为（　　）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 4$ C、 $- \frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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二、填空题

11.
小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．

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12. 在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， E是BC的中点，连接AE，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F，连接CF、AC．

(1)、线段DF的长为；

(2)、若AC交DF于点M，则 $\frac{C M}{A M} =$ ．

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13. 三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．

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14. 如图，正方形ABCD的边长为10，E、F分别是BC、CD边上的点， $B E = C F$ ，分别连接AE、BF，两线段交于一点M，点G、H分别是AE、BF边上的中点．

(1)、当BE＝4时，线段GH的长为．

(2)、连结DM，当 $B E = 5$ 时， $\frac{G H}{D M}$ ＝．

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15. 如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D = C D ， B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F / / A B$ 交 $B E$ 于点 $F$ ，若 $B D = 4 ， D E = 3$ ，则 $C F =$ ，Ｓ_四边形_EDCF.

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16. 如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP的面积为4，△D'PH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于。

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17.
已知实数a ， b ， c满足a+b+c=10，且 $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = \frac{14}{17}$ ，则 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$ 的值是

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18. 设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D₁ ， E₁是其分点，连接AE₁ ， BD₁交于点F₁ ，得到四边形CD₁F₁E₁ ，其面积S₁= $\frac{1}{3}$ ．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D₁ ， D₂ ， E₁ ， E₂是其分点，连接AE₂ ， BD₂交于点F₂ ，得到四边形CD₂F₂E₂ ，其面积S₂= $\frac{1}{6}$ ；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D₁ ， D₂ ， D₃ ， E₁ ， E₂ ， E₃是其分点，连接AE₃ ， BD₃交于点F₃ ，得到四边形CD₃F₃E₃ ，其面积S₃= $\frac{1}{10}$ ；
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD_nF_nE_n ，其面积S_n= ．

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三、作图题

19. 如图，图①、图②、图③均为4×2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上．按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形．
要求：

⑴所画的两个三角形都与△ABC相似但都不与△ABC全等．

⑵图②和图③中新画的三角形不全等．

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四、综合题

20. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 $\sqrt{2}$ 。点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。

(1)、如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO．

(2)、已知点G为AF的中点。
①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。

②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

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21.
在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁ ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁ ， AC₁与BD₁交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC₁≌△BOD₁ ．
②请直接写出AC₁ 与BD₁的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC₁=kBD₁ ．判断AC₁与BD₁的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD₁ ，设AC₁=kBD₁ ．请直接写出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

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22. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1)、如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，猜想∠ABD和∠ACE的数量关系是（），并说明理由；

(2)、如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否仍然成立成立？请说明理由．

(3)、在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q₁向终点Q₂匀速运动，它们同时到达终点．

(1)、求点B的坐标和OE的长；

(2)、设点Q₂为(m ， n)，当 $\frac{n}{m} = \frac{1}{7}$ tan∠EOF时，求点Q₂的坐标；

(3)、根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q₃ ，当点Q在线段Q₂Q₃上时，设Q₃Q＝s ， AP＝t ，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．

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24. 如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF.

(1)、若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值。

(2)、若a：b的值为 $\frac{1}{2}$ ，求k的最大值和最小值。

(3)、若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b为的值。

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