广西桂林、崇左、贺州、河池、来宾市2022届高三文数联合高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 2} ， B = {x | - 2 \leq x \leq 1}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A ∩ B =$ ∅

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2. 设复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ ，则z在复平面内对应的点的坐标为（）

A、（1，1） B、（-1，1） C、（1，-1） D、（-1，-1）

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3. 若命题p： $\forall x \geq 0 ， e^{x} + x - 2 \geq 0$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\exists x_{0} < 0 ， e^{x_{0}} + x_{0} - 2 < 0$ B、 $\exists x_{0} \geq 0 ， e^{x_{0}} + x_{0} - 2 \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 0 ， e^{x_{0}} + x_{0} - 2 < 0$ D、 $\exists x_{0} < 0 ， e^{x_{0}} + x_{0} - 2 \geq 0$

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4. 已知向量 $\vec{m} = (a^{2} ， - 1) ， \vec{n} = (2 ， 1 - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或-1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\begin{array}{l} \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 在区间 $(0 ， 3)$ 上随机取1个数 $x$ ，则取到的数满足 $l o g_{2} x < 1$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 5 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $[8 ， + \infty)$ C、 $[3 ， 8]$ D、 $[3 ， 6]$

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8. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 1$ ， $P A = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、5π B、 $\sqrt{2} π$ C、20π D、4π

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9. 设函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{π}{2} - x) s i n (π - x) + c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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10. 已知 $x = l n \frac{1}{2} ， y = l o g_{5} 2 ， z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $x < z < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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11. 平面直角坐标系中有两点 $O_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $O_{2} (1 ， 0)$ ，以 $O_{1}$ 为圆心，正整数i为半径的圆记为 $A_{i}$ ，以O₂为圆心，正整数j为半径的圆记为 $B_{j}$ .对于正整数 $k$ （ $1 \leq k \leq 5$ ），点 $P_{k}$ 是圆 $A_{k}$ 与圆 $B_{k + 1}$ 的交点，且 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ 都位于第二象限，则这5个点都在同一（）

A、直线上 B、椭圆上 C、抛物线上 D、双曲线上

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12. 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（）

A、星期五 B、星期六 C、星期天 D、星期一

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2$ 的对称轴方程为.

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14. 张先生正在为一个小镇建一个模型.这个小镇有一座水塔，水塔高40米，顶部是一个可以装10万升水的球体.如果小镇模型中的微型水塔可以容纳0.1升水，那么微型水塔的高为米.

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15. 已知锐角 $△ A B C$ 的面积为9， $A B = A C$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2 D A = \sqrt{10}$ ，则 $B D$ 的长为．

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16. 设函数 $y = s i n \frac{π x}{3}$ 在 $[t ， t + 1]$ 上的最大值为 $M (t)$ ，最小值为 $N (t)$ ，则 $M (t) - N (t)$ 在 $\frac{3}{2} \leq t \leq \frac{7}{2}$ 上最大值为．

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三、解答题

17. 某乡为了解居民的半年收入情况，随机抽取辖区内的1200个家庭进行调查，半年收入均在 $[0 ， 10]$ （单位：万元）范围内，将调查的数据分成 $[0 ， 2) ， [2 ， 4) ， [4 ， 6) ， [6 ， 8) ， [8 ， 10]$ 五组，并绘制成频率分布直方图（如图）.

(1)、求该直方图中 $x$ 的值；

(2)、若从第一组 $[0 ， 2)$ 和第二组 $[2 ， 4)$ 中利用分层抽样的方法抽取6个家庭，并在这6个家庭中选2个家庭进行深入调研，求这2个家庭的半年收入不在同一组的概率.

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18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $a_{2} = a_{1} (1 - a_{1})$ ，且数列 ${\sqrt{1 - S_{n}}}$ 是等比数列，证明： ${a_{n}}$ 是等比数列.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P B = P C = 2 A B = 4$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求点D到平面PBC的距离h.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + π \cdot c o s x$ ．

(1)、判定函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的单调性，并证明你的结论；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - m$ 有四个零点，求m的取值范围．

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21. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = \frac{1}{4}$ 和抛物线 $C_{2} ： x^{2} = 4 y$ ， $P (x_{0} ， y_{0})$ 是圆 $C_{1}$ 上一点，过 $P$ 作抛物线 $C_{2}$ 的两条切线 $P A ， P B$ ， $A ， B$ 分别为切点.

(1)、当 $x_{0} = \frac{1}{2}$ 时，求切线 $P A ， P B$ 的方程；

(2)、求证：存在两个 $x_{0}$ ，使得 $△ P A B$ 面积等于 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为： ${\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{cases}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ - 4 c o s θ = 0$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知 $P_{0} (3 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点．求 $| | P_{0} P_{1} | - | P_{0} P_{2} | |$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x + 4 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) ≤ 2 + 3 x$ ；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) - 3 | x + 4 | ≤ 2 m^{2} - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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