广西桂林、崇左、贺州、河池、来宾市2022届高三理数联合高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - 2} ， B = {x | - 2 \leq x \leq 1}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A ∩ B =$ ∅

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2. 若复数z满足 $z (1 - 3 i) = 1 - 7 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in (0 ， π)$ ， $s i n x_{0} < 0$ ，命题 $q ： \forall x > 1$ ， $l o g_{2} x > 0$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor \neg q$ C、 $\neg (p \lor q)$ D、 $\neg p \land q$

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4. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\begin{array}{l} \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 5 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[6 ， + \infty)$ B、 $[8 ， + \infty)$ C、 $[3 ， 8]$ D、 $[3 ， 6]$

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6. 2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数 $X_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ （单位：辆）均服从正态分布 $N (600 ， σ^{2})$ ，若 $P (500 < X_{i} < 700) = \frac{1}{3} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{16}{27}$ D、 $\frac{65}{81}$

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7. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 1$ ， $P A = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、5π B、 $\sqrt{2} π$ C、20π D、4π

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8. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（）

A、35 B、50 C、70 D、100

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9. 若正数a、b满足 $1 + l o g_{\sqrt{2}} a = 2 + l o g_{\sqrt{3}} b = l o g_{\sqrt{6}} (a - b)$ ，则 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- 3 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 $2 π$ ， $f (0) = 1$ ．则下列选项正确的是（）

A、 $ω = \frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = k π - \frac{2 π}{3}$ （ $k \in Z$ ） C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}]$ （ $k \in Z$ ） D、 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $[4 k π - \frac{4 π}{3} ， 4 k π]$ （ $k \in Z$ ）

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11. 平面直角坐标系中有两点 $O_{1} (- 1 ， 0)$ 和 $O_{2} (1 ， 0)$ ，以 $O_{1}$ 为圆心，正整数i为半径的圆记为 $A_{i}$ ，以O₂为圆心，正整数j为半径的圆记为 $B_{j}$ .对于正整数 $k$ （ $1 \leq k \leq 5$ ），点 $P_{k}$ 是圆 $A_{k}$ 与圆 $B_{k + 1}$ 的交点，且 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ 都位于第二象限，则这5个点都在同一（）

A、直线上 B、椭圆上 C、抛物线上 D、双曲线上

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12. 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（）

A、星期五 B、星期六 C、星期天 D、星期一

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二、填空题

13. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，E是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E D} =$ ．

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14. 二项式 ${(2 x + \frac{3}{2 x})}^{6}$ 展开式中的常数项是．

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15. 已知锐角 $△ A B C$ 的面积为9， $A B = A C$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2 D A = \sqrt{10}$ ，则 $B D$ 的长为．

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16. 在三棱锥ABCD中，对棱 $A B = C D = \sqrt{5} ， A D = B C = \sqrt{13} ， A C = B D = \sqrt{10}$ ，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为.

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三、解答题

17. 某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出100人进行统计，其中对教师教学水平满意的学生人数为总数的60%，对教师管理水平满意的学生人数为总数的75%，对教师教学水平和教师管理水平都满意的有40人．
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$P (K^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、完成对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为对教师教学水平满意与教师管理水平满意有关；

对教师管理水平满意
对教师管理水平不满意
合计
对教师教学水平满意
对教师教学水平不满意
合计

(2)、若将频率视为概率，随机从学校中抽取3人参与此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平都满意的人数为随机变量X；求X的分布列和数学期望．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；②数列 ${\sqrt{1 - S_{n}}}$ 是等比数列；③ $a_{2} = a_{1} (1 - a_{1})$
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD， $P A = A B$ ， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)、求证：平面AEF⊥平面PBC；

(2)、试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.

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20. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = \frac{1}{4}$ 和抛物线 $C_{2} ： x^{2} = 4 y$ ， $P (x_{0} ， y_{0})$ 是圆 $C_{1}$ 上一点，过 $P$ 作抛物线 $C_{2}$ 的两条切线 $P A ， P B$ ， $A ， B$ 分别为切点.

(1)、当 $x_{0} = \frac{1}{2}$ 时，求切线 $P A ， P B$ 的方程；

(2)、求证：存在两个 $x_{0}$ ，使得 $△ P A B$ 面积等于 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} (a \in R)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为： ${\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{cases}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ - 4 c o s θ = 0$ ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知 $P_{0} (3 ， 0)$ ，直线l与曲线C交于 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点．求 $| | P_{0} P_{1} | - | P_{0} P_{2} | |$ 的值．

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23. 已知 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x + 4 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) ≤ 2 + 3 x$ ；

(2)、若 $\forall x \in R$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) - 3 | x + 4 | ≤ 2 m^{2} - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	对教师管理水平满意	对教师管理水平不满意	合计
对教师教学水平满意
对教师教学水平不满意
合计