广东省梅州市2022届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2022-04-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则下图中的阴影部分表示的集合为（）

A、{4} B、{5} C、 ${1 ， 2}$ D、 ${3 ， 5}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 - \sqrt{3} i) z = | 2 i |$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (6 - x) ， x < 1 ， \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 . \end{array}$ ，则 $f (- 2) + f (l o g_{2} 6) =$ （）

A、2 B、6 C、8 D、10

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4. 下面四个条件中，使 $a > b$ 成立的充分不必要的条件是（）

A、 $a > b + 2$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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5. 已知函数 $f (x) = 1 + c o s ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，若将其图象沿 $x$ 轴向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则实数 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 已知直线 $l ： y = k x$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 两不共线的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$ ，且 $\forall t \in R$ ， $| \vec{a} - t \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) l n (2 x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0$ ，则不等式 $(x - 2) f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ B、双曲线 $C$ 的两条渐近线方程为： $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、双曲线 $C$ 有且仅有两条过点 $Q (1 ， 0)$ 的切线

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10. 如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（）
注： $同比增长率 = \frac{本月价格水平 - 去年同月价格水平}{去年同月价格水平}$ ， $环比增长率 = \frac{本月价格水平 - 上月价格水平}{上月价格水平}$

A、2020年10月，全国居民消费价格同比下降 B、2020年11月，全国居民消费价格环比下降 C、2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高 D、2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格

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11. 一球筐中装有 $n$ 个小球，甲、乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓1个球，最多抓2个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有（）

A、若 $n = 4$ ，则甲有必赢的策略 B、若 $n = 5$ ，则甲有必赢的策略 C、若 $n = 6$ ，则乙有必赢的策略 D、若 $n = 7$ ，则乙有必赢的策略

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $| A B | = | A D | = 1$ ， $| A A_{1} | = 2$ ，动点 $P$ 在体对角线 $B D_{1}$ 上（含端点），则下列结论正确的有（）

A、当 $P$ 为 $B D_{1}$ 中点时， $∠ A P C$ 为锐角 B、存在点 $P$ ，使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A P C$ C、 $| A P | + | P C |$ 的最小值 $2 \sqrt{5}$ D、顶点 $B$ 到平面 $A P C$ 的最大距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $s i n (α + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$ ， $α \in [0 ， π]$ ，则 $t a n α =$ .

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14. 已知某班数学建模兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选3人参加该校的数学建模比赛，则恰有1名女生被选到的概率是.

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15. 已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为2的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，则此正四棱台的体积为.

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16. 分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“ $n$ 次分形”（ $n \in N^{*}$ ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则 $n$ 的最小整数值是.（取 $1 g 3 \approx 0.4771$ ， $l g 2 \approx 0.3010$ ）

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，已知 $D B = 2$ ， $D C = 3$ ， $∠ B D C = 60 °$

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $s i n A$ 的值.

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18. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， ____.
① $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ ；②数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，且 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前 $3$ 项和为 $6$ .从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} + a_{n + 1}}{{(a_{n} \cdot a_{n + 1})}^{2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：方程 $f (x) = c o s x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 上无实数解

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20. 如图①，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = 2$ ， $A D = C D = 4$ ， $E$ ､ $F$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点，将四边形 $A B F E$ 沿 $E F$ 折起，如图②，连结 $A D$ ， $B C$ ， $A C$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A D$ ；

(2)、当翻折至 $A C = 2 \sqrt{6}$ 时，设 $Q$ 是 $E F$ 的中点， $P$ 是线段 $A C$ 上的动点，求线段 $P Q$ 长的最小值.

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21. 已知动点 $P$ 到点 $F (0 ， 1)$ 和直线 $l$ ： $y = - 1$ 的距离相等.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、设点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，过 $Q$ 的两条直线 $Q A$ ， $Q B$ 与曲线 $C$ 相切，切点分别为A， $B$ ，以 $A B$ 为直径作圆 $M$ ，判断直线 $l$ 和圆 $M$ 的位置关系，并证明你的结论.

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22. 2022年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得“10合1混采检测”情况下依然有效，即：每10人的咽拭子合进一个采样管一起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，就表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人当中的阳性者.采用“10合1混采检测”模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠肺炎疫情在本地扩散风险.

(1)、设感染率为 $p$ ， 10个人的咽拭子混合在一起检测时，求随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数.

(2)、某地区共10万人，发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，预估新冠病毒感染率为万分之一，即为 $1 0^{- 4}$ ，先进行“10合1混采检测”，试估计这10万人所需检测的平均次数.并估计对这个地区，这样的混检比一人一检大约能少使用多少份检测试剂？
（注：感染率，即为每个人受感染的概率； ${(1 - 1 0^{- 4})}^{10} \approx 0.999$ ）

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