北师大版备考2022中考数学二轮复习专题16 等腰、等边及直角三角形

试卷更新日期：2022-04-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图， $⊙ O$ 上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是 $⊙ O$ 外一点，且 $A C = B C = P C$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ A P B$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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2. 如图：等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， D$ 是 $A C$ 上一点，若 $t a n ∠ D B A = \frac{1}{5}$ ，则 $A D =$ （）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）

A、24 B、30 C、36 D、42

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4. 如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线于BD交于点F，连接CD.则线段BF，DF，CD三者之间的关系为(　　)

A、BF﹣DF＝CD B、BF+DF＝CD C、BF²+DF²＝CD² D、无法确定

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5.
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (\sqrt{2} ， 0)$ ， $B (1 ， 1)$ ．若平移点 $A$ 到点 $C$ ，使以点 $O$ ， $A$ ， $C$ ， $B$ 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）

A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B、向左平移 $(2 \sqrt{2} - 1)$ 个单位，再向上平移1个单位 C、向右平移 $\sqrt{2}$ 个单位，再向上平移1个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位

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6. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 $x^{2} - 16 x + 60 = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、24 C、 $8 \sqrt{5}$ 或24 D、 $4 \sqrt{5}$ 或24

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7.
在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距 $\sqrt{5}$ 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 $4 \times 4$ 的正方形网格图形中（如图1），从点 $Α$ 经过一次跳马变换可以到达点 $Β$ ， $C$ ， $D$ ， $Ε$ 等处．现有 $20 \times 20$ 的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点 $Μ$ 经过跳马变换到达与其相对的顶点 $Ν$ ，最少需要跳马变换的次数是（）

A、 $13$ B、 $14$ C、 $15$ D、 $16$

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8. 如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3 $\sqrt{2}$ m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）

A、3m B、 $3 \sqrt{3}$ m C、 $2 \sqrt{3}$ m D、4m

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9. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）

A、30° B、35° C、45° D、60°

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10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）

A、60° B、65° C、75° D、80°

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二、填空题

11. 在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， E是BC的中点，连接AE，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F，连接CF、AC．

(1)、线段DF的长为；

(2)、若AC交DF于点M，则 $\frac{C M}{A M} =$ ．

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12. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为.

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13. 如图，点P是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= $\sqrt{5}$ .

(1)、k的值是；

(2)、若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是.

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14.
如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l₁、l₂、l₃分别通过A、B、C三点，且l₁∥l₂∥l₃ ．若l₁与l₂的距离为4，l₂与l₃的距离为6，则Rt△ABC的面积为．

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15. 一副三角板按如图所示叠放在一起，∠C=60°，∠OAB=45°，其中点B，D重合，若固定△AOB，将三角板ACD绕着公共顶点A顺时针旋转一周后停止，当旋转的角度为时，CD∥AO．

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16.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．

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17. 如图1是AD//BC的一张纸条，按图1—>图2—>图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=15°，则图2中∠AEF的度数为.

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18. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5，BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为.

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19. 小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 50 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① $∠ O E F = 50 °$ ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：

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20. 如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点，若 MN=2， $S_{△ P M N} = 2$ ， $S_{△ O M N} = 7$ ．则△MON 的周长是；

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三、作图题

21.
已知：如图△ABC ．
求作：①AC边上的高BD；
②△ABC的角平分线CE ．

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22. 如图，在 Rt△ABC 中，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，试画出所有不同的等腰三角形并说明画图方法．

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四、综合题

23.
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

(1)、试说明AC=EF；

(2)、求证：四边形ADFE是平行四边形.

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合），连接BE．取CD的中点P，连接AP．

(1)、如图（1），当点E落在线段AC上时，
① $\frac{A P}{B E} =$ ；
②直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为．请给予证明．

(2)、如图（2），当点E落在平面内其他位置时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、若 $A C = 6$ ， $C P = 3$ ，当点B，D，E在同一条直线上时，请直线写出线段AP的长．

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25.
如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

(1)、试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

(2)、如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

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