广东省大联考2021-2022学年高一下学期数学期中检测试卷

试卷更新日期：2022-04-19 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．

1. 下列说法中正确的是（）

A、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B、在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 C、棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D、在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

查看试题解析
2. 经过同一条直线上的3个点的平面（）

A、有且只有一个 B、有且只有3个 C、有无数多个 D、不存在

查看试题解析
3. 已知角 $α$ 的终边过点 $A (1 ， 2)$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15} + 2 \sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{15} + 2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 2 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
4. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

查看试题解析
5. 一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为（）

A、144π cm³ B、288π cm³ C、576π cm³ D、864π cm³

查看试题解析
6. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是线段 $O D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ .若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{12} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{12} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{12} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R ， A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象（部分）如图所示，则 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ C、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)$

查看试题解析
8. 若△ABC外接圆圆心为 $O$ ，半径为4，且 $\overset{⇀}{O A} + 2 \overset{⇀}{A B} + 2 \overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{0} ，$ 则 $\overset{⇀}{C A} • \overset{⇀}{C B}$ 的值为（）

A、14 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、2

查看试题解析

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.）

9. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（）

A、矩形 B、等腰梯形 C、每个面都是等边三角形的四面体 D、每个面都是直角三角形的四面体

查看试题解析
10. 下列说法正确的有（）

A、若向量 $\vec{a} = \vec{b}$ ， $\vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反 C、向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是三个非零向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个个非零向量，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

查看试题解析
11. 设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i B、若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数 C、若 $z = \sqrt{3} - 2 i$ ，则z的虚部为－2i D、若 $1 \leq | z | \leq \sqrt{2}$ ，则点Z的集合所构成的图形的面积为 $π$

查看试题解析
12. a、b、c为 $△$ ABC的三边，下列条件能判定 $△$ ABC为等腰直角三角形为（）

A、 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ 且 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ B、 $a \cos A - b \cos B = 0$ C、 $b \cos A - a \cos B = c$ 且 $2 c \cos^{2} \frac{A}{2} = a \cos C + c$ D、 $sin A$ ：sinB：sinC= $\sqrt{3}$ ： $\sqrt{3}$ ： $\sqrt{6}$

查看试题解析

三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为

查看试题解析
14. 如下图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ .

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ .当 $x \in [\frac{7 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ 时，关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - (2 m + 1) f (x) + m^{2} + m = 0$ 恰有三个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围是.

查看试题解析
16. 已知圆O的半径为2，A为圆内一点， $O A = \frac{1}{2}$ ，B，C为圆O上任意两点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知复数z满足 $| z | = \sqrt{2}$ ，z²的虚部为2.

(1)、求复数z；

(2)、设 $z ， z^{2} ， z - z^{2}$ 在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.

查看试题解析
18. 如图所示，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过顶点B，D，A₁截下一个三棱锥.

(1)、求剩余部分的体积；

(2)、求三棱锥A－A₁BD的体积及高.

查看试题解析
19. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是不共线的两个非零向量.

(1)、若 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 3 ， (2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ . 求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值.

查看试题解析
20. 如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．

查看试题解析
21. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A = \sqrt{3} \sin A \sin B - \sin^{2} B$ ．

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $b^{2} - a^{2}$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 已知数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + \frac{π}{6}) + 2 \sin^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{12}) - 1 (ω > 0)$ 的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、对于第（2）问中的函数 $g (x)$ ，记方程 $g (x) = \frac{4}{3}$ 在 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots x_{n}$ ，若 $m =$ $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ ，试求 $n$ 与 $m$ 的值

查看试题解析