安徽省滁州市2022届高三下学期理数第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-04-19 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0} ， B = {x | x < - 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = | 1 + \sqrt{3} i |$ ，则在复平面内 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 命题“若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则 $x = y = 0$ ”的否命题为（）

A、若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ B、若 $x^{2} + y^{2} = 0$ ，则 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$ C、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ D、若 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ，则 $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$

查看试题解析
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值是（）

A、3 B、15 C、17 D、18

查看试题解析
5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，等轴双曲线 $y^{2} - x^{2} = b^{2}$ 的焦点为 $F_{3}$ ， $F_{4}$ ，若四边形 $F_{1} F_{3} F_{2} F_{4}$ 是正方形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} s i n | x |}{e^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} c o s | x |}{e^{x}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} | s i n x |}{e^{x}}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} | c o s x |}{e^{x}}$

查看试题解析
7. 等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₂a₅=2a₃ ，且a₄与2a₇的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则S₅=（）

A、29 B、31 C、33 D、36

查看试题解析
8. 已知 $(2 - a x^{2}) (1 + 2 x)^{4}$ 的展开式的所有项系数之和为81，则展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为（）

A、56 B、60 C、68 D、72

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x s i n (ω x + \frac{π}{2}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上的值域为（）

A、 $[0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

查看试题解析
10. 十八世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来．有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点．这就是著名的哥尼斯堡七桥问题（下简称七桥问题），很多人尝试解决这个问题，但绞尽脑汁，就是无法找到答案．直到1736年，29岁的欧拉以拉丁文正式发表了论文《关于位置几何问题的解法》，文中详细讨论了七桥问题并作了一些推广，该论文被认为是图论、拓扑学和网络科学的发端．图1是欧拉当年解决七桥问题的手绘图，图2是该问题相应的示意图，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一个几何问题——笔画问题．一笔画问题中，要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边．在图3中，根据以上一笔画问题的规则，不同的走法总数为（）

A、6 B、 $8$ C、10 D、12

查看试题解析
11. 已知 $a = \frac{l n 4}{5} ， b = \frac{l n 3}{4} ， c = \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{A C} = 3 \vec{P C}$ ，设过点 $A$ ， $C$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 的球的半径为 $R_{1}$ ，过点 $A$ ， $P$ ， $B_{1}$ ， $D_{1}$ 的球的半径为 $R_{2}$ ，则 $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ B、 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ C、 $\sqrt{\frac{6}{5}}$ D、 $\sqrt{\frac{9}{8}}$

查看试题解析

二、填空题

13. 设 $f (x) = e^{x}$ ，则 $\int_{0}^{1} [f^{^{'}} (x) + 2 x] d x =$ ．

查看试题解析
14. 已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ，单位向量 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} |^{2} = \vec{a} \cdot \vec{b} + 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为．

查看试题解析
15. 已知一个三棱柱被一个平面所截留下的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．

查看试题解析
16. 知实数x，y满足 $x | x | = y | y | + 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} - 2 x y$ 的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

17. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
竞赛得分
$[50 ， 60]$
$(60 ， 70]$
$(70 ， 80]$
$(80 ， 90]$
$(90 ， 100]$
频率
$0.1$
$0.1$
$0.3$
$0.3$
$0.2$

(1)、如果规定竞赛得分在 $(80 ， 90]$ 为“良好”，竞赛得分在 $(90 ， 100]$ 为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；

(2)、以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 7 ， b = 3$ ， ____．
在① $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - \frac{33}{2}$ ；② $\frac{1 - 2 c o s A}{2 c o s B - 1} = \frac{7}{3}$ ；③ $s i n A = 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{A}{2}$ ．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)、求 $△ A B C$ 的面积S；

(2)、求角A的平分线 $A D$ 的长．

查看试题解析
19. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B A D = 60 ° ， A E = E D = \sqrt{7}$ ，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D ， C F ⊥$ 平面 $A B C D ， C F = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值．

查看试题解析
20. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l ： x + 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相切．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设A，B，P为抛物线C上的三个点，若直线 $A B$ 与l平行，线段 $A B$ 的中点为M，点N在x轴上且 $\vec{M P} = 2 \vec{M N}$ ，求 $△ O P M$ 面积的取值范围．

查看试题解析
21. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $b_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，函数 $f (x) = l n (1 + x) - \frac{m x}{1 + x}$ ，其中 $m > 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 各项均为正整数，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $| a_{n + 1} - \frac{2 a_{n}^{2} + a_{n + 1}}{a_{n} + 1} | < \frac{1}{2}$ ．求证：
（ⅰ） $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ；
（ⅱ） $b_{1} b_{2} b_{3} ⋯ b_{n} > e^{- \frac{5}{3}}$ ，其中 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的方程为： $(3 m + 2) x + (m - 3) y + 2 m + 5 = 0$ ．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为： $ρ = 4 s i n θ - 6 c o s θ$ ．

(1)、求曲线C的直角坐标方程，以及直线 $l$ 恒过的定点的极坐标；

(2)、直线l与曲线C相交于M，N两点，若 $| M N | = 6$ ，试求直线l的直角坐标方程．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | x + 1 | - 3$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集M；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为m，正实数a，b满足： $a + b = m$ ，求证： $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} \geq \frac{4}{3}$ ．

查看试题解析

竞赛得分	$[50 ， 60]$	$(60 ， 70]$	$(70 ， 80]$	$(80 ， 90]$	$(90 ， 100]$
频率	$0.1$	$0.1$	$0.3$	$0.3$	$0.2$