云南省昭通市永善、绥江县2021-2022学年高一数学3月月考试卷

试卷更新日期：2022-04-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 \leq 0} ， B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $[2 ， 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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2. 化简 $\vec{A C} - \vec{B D} + \vec{C D} - \vec{A B}$ 得（）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{D A}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{A B}$

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3. 函数 $y = \frac{2 l g x}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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4. 已知 $2$ 弧度的圆心角所对的弦长为 $2$ ，那么这个圆心角所对的弧长是（）

A、2 B、 $s i n 2$ C、 $\frac{2}{s i n 1}$ D、 $2 s i n 1$

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5. 已知 $\tan (π - α) = - 3$ ，则 $\frac{2 \sin α + \cos α}{2 \cos α - \sin α}$ （）

A、-7 B、7 C、-1 D、1

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6. 已知 $a = 3^{0.1} ， b = {(\frac{1}{2})}^{0.2} ， c = l o g_{5} 0.3$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ D、 $a b < b^{2}$

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8. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 下列有关向量命题，不正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、已知 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}, \vec{b} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ D、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$

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10. 下列四个命题正确的是（）

A、函数 $f (x) = 2 a^{2 x - 1} - 1$ 的图象过定点 $(\frac{1}{2} ， - 1)$ ； B、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (x + 1)$ ，若 $f (a) = - 2$ ，则实数 $a = - 1$ 或 $2$ ； C、若 $l o g_{a} \frac{1}{2} > 1$ ，则 $a$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2} ， 1)$ ； D、对于函数 $f (x) = l n x$ ，其定义域内任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ．

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 & x \leq 0 \\ | lg x | & x > 0 \end{array}$ ，方程 $f^{2} (x) - m f (x) - 1 = 0$ 有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 的零点的个数为2 B、实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$ C、函数 $f (x)$ 无最值 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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三、填空题

13. 若 $\sin x = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，且 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ .

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15. 命题“ $\forall x \in R ， a x^{2} + 4 a x + 3 > 0$ ”为真，则实数a的范围是

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x < 1 \\ 3^{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a + 4) > 3 f (a^{2} + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 计算:

(1)、 $(lg 25 - 2 lg \frac{1}{2}) \div 100^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{5} - 1)}^{0} - {(\frac{125}{64})}^{- \frac{1}{3}}$

(2)、 $sin (\frac{11 π}{6}) + cos (- \frac{20 π}{3}) + tan (\frac{29 π}{4})$

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18. 已知集合 $A = {x | - 4 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x - 4 > 0}$ ， $C = {x | m - 2 < x < m + 2}$ .

(1)、求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $x \in C$ 是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将函数 $y = f (x)$ 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求当 $x \in [0 ， π]$ 时，函数 $y = g (x)$ 的最大值及最小值．

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20. 生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为 $2 m$ ，底面积为 $1000 m^{2}$ 的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排 $4 m$ 宽的休闲区，休闲区造价为 $200$ 元 $/ m^{2}$ ，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为 $100$ 元 $/ m^{2}$ .其他设施等支出大约为 $1$ 万元，设游泳池的长为 $x m$ .

(1)、试将总造价 $y$ （元）表示为长度 $x$ 的函数；

(2)、当 $x$ 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 1 - 3^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [2 ， 8]$ 时，不等式 $f (l o g_{2}^{2} x) + f (5 - a l o g_{2} x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- m ， m]$ 是单调递增函数，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - a = 0$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内有两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，记 $t = a c o s (x_{1} + x_{2})$ ，求实数 $t$ 的取值范围 .

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