湖北省恩施州鹤峰县部分校2021-2022学年高一下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2022-04-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | l n (x - 1) \leq 0}$ ， $B = {x | | x | \geq 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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2. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{5}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = l o g_{\frac{2}{3}} \frac{5}{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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3. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(2 a - 1 ， 4)$ ，且 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、-2 B、-1 C、2 D、1

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 ， \vec{b} = (1 ， 2 \sqrt{2})$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ．则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的解析式是（）

A、 $g (x) = s i n 2 x$ B、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a + 2) x ， (x \leq 1) \\ x^{a} - 6 ， (x > 1 ） \end{array}$ 是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 7 ， - 2)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- \infty ， - 7)$ D、 $(- 7 ， - 2)$

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7. 函数 $f (x) = x^{3} - a x + s i n x + 1$ ，若 $f (m) = 4$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、-2 B、-4 C、3 D、2

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f^{2} (x) + b f (x) + \frac{1}{8} = 0$ 有六个相异实根，则实数 $b$ 的取值范围（）

A、 $(- 2 ， - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(- \frac{9}{8} ， - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{9}{8} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $- 2 < a < 3 ， 1 < b < 2$ ，则 $- 4 < a - b < 2$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $b < a < 0 ， m < 0$ ，则 $\frac{m}{a} > \frac{m}{b}$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$

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10. 下列命题正确的是（）

A、存在正实数 $M ， N$ ，使得 $l o g_{a} M + l o g_{a} N = l o g_{a} M N$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ B、若函数 $f (x)$ 在 $(2021 ， 2022)$ 上有零点，则 $f (2021) \cdot f (2022) < 0$ C、函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 1)$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 的图象过定点 $(1 ， 0)$ D、若 $θ$ 为第一象限角，则 $s i n θ + c o s θ > 1$

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11. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{3}) + s i n 2 x$ 图象向右平移 $φ$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 的可能值为（）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， (x > 0) \\ - x^{2} - 2 x ， (x \leq 0) \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有四个零点分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 \leq m < 1$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 1$ C、 $x_{3} \cdot x_{4} = 1$ D、 $x_{3} + x_{4} \in (2 ， e + \frac{1}{e})$

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三、填空题

13. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{s i n 2 α - c o s^{2} α}{1 + c o s 2 α} =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 - n ， 1)$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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15. 已知定义域为 $[- 2 ， 2]$ 的函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0]$ 上单调递增，且 $f (x) + f (- x) = 0$ ，若 $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为.

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16. 已知 $t a n α 、 \frac{1}{t a n α}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - k x + k^{2} - 3 = 0$ 的两个实根，且 $- π < α < - \frac{π}{2}$ ，则 $c o s α + s i n α =$ .

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四、解答题

17.

(1)、已知 $α ， β$ 均为锐角， $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $c o s (α + β ） = \frac{5}{13}$ ．求 $c o s β$ 的值；

(2)、已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 1 ， 1) ， \vec{c} = (3 ， 3)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{c}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数 $k$ .

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18. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} (x + \frac{π}{3}) - s i n^{2} (x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、若 $α \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ ，求 $f (α)$ 的值域．

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19. 已知 $m > 0 ， p ： x^{2} - 4 x - 12 \leq 0 ， q ： 2 - m \leq x \leq 2 + m$ ．

(1)、若 $q$ 是 $p$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 5$ ，命题 $p$ 、 $q$ 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数 $x$ 的取值范围．

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20. 冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为 $x$ （单位： $k m$ ），经过市场调查了解到：每月土地占地费 $y_{1}$ （单位：万元）与 $(x + 1)$ 成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $(4 x + 1)$ 成正比；若在距离车站 $5 k m$ 处建仓库，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 分别为 $12.5$ 万元和 $7$ 万元.记两项费用之和为 $ω$ .

(1)、求 $ω$ 关于 $x$ 的解析式；

(2)、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = A s i n (2 x + φ) - \frac{1}{2} (A > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ ， $g (x) = \frac{3 - m \cdot 3^{x}}{3^{x}}$ ， $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， 1)$ ，且关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称.若对于任意的 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{6}]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq f (x_{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 函数 $f (x) = l g (a \cdot 4^{x} + 2^{x} - 1)$ ．

(1)、当 $x \in (1 ， 2)$ 时， $f (x)$ 有意义，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \leq 0$ 时， $f (x)$ 值域为 $R$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、在（2）条件下， $g (x)$ 为定义域为R的奇函数，且 $x > 0$ 时， $g (x) = 1 0^{f (x)} + 1$ ．对任意的 $t \in R$ ，解关于 $x$ 的不等式 $g (x^{2} + t x - 2 t) \geq \frac{g^{3} (x)}{| g (x) |}$ ．

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