河南省顶尖名校联盟2021-2022学年高二下学期理数尖子生联赛试卷

试卷更新日期：2022-04-18 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 ⩽ x < 4} ， B = {x ∣ y = \sqrt{x - 3}}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[3 ， 4)$ C、 $[3 ， 4]$ D、 $[3 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = (1 + 2 i) (2 + i)$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 5 i$ B、 $5 i$ C、 $1 + 5 i$ D、 $1 - 5 i$

查看试题解析
3. 已知 $α \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ ， $s i n (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ，则tan(π+2α)=（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\pm \frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\pm \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

查看试题解析
4. 某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则 $K^{2}$ 的观测值可能为（）
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、 $K^{2} = 3.206$ B、 $K^{2} = 6.625$ C、 $K^{2} = 7.869$ D、 $K^{2} = 11.208$

查看试题解析
5. 已知等边 $Δ A O B$ （ $O$ 为坐标原点）的三个顶点在抛物线 $Γ ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，且 $Δ A O B$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

查看试题解析
7. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）

A、257 B、336 C、343 D、384

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数，若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的图象与直线 $y = 2$ 有且仅有一个交点，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

查看试题解析
9. 已知过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右焦点 $F_{2}$ ，斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与双曲线在第一象限交于点 $A$ ，点 $F_{1}$ 为左焦点，且 $(\overset{⇀}{F_{2} F_{1}} + \overset{⇀}{F_{2} A}) \cdot \overset{⇀}{F_{1} A} = 0$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使点A，C之间的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，若P，Q分别为线段 $B D$ ， $C A$ 上的动点，则下列说法错误的是（）

A、平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ B、线段 $P Q$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、当 $A Q = Q C$ ， $4 P D = D B$ 时，点D到直线 $P Q$ 的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ D、当P，Q分别为线段 $B D$ ， $C A$ 的中点时， $P Q$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， x > 2 ， \\ l n (x + a) ， x \leq 2 \end{array}$ 的图象上存在关于直线 $x = 2$ 对称的不同两点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(e^{\frac{5}{2}} - 2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2 e - 1)$ D、 $(- \infty ， e^{\frac{5}{2}})$

查看试题解析

二、多选题

12. 已知 $π$ 为圆周率， $e$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $π^{e} < 3^{e}$ B、 $l o g_{π} e > l o g_{3} e$ C、 $π \cdot 3^{e - 2} < 3 \cdot π^{e - 2}$ D、 $π l o g_{3} e > 3 l o g_{π} e$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $(x^{2} + a) {(\frac{1}{x^{2}} + 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为8，则 $a =$ .

查看试题解析
14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， k)$ ，向量 $\vec{b} = (- 3 ， - 1)$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

查看试题解析
15. 若圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上，有且仅有一个点到 $(- 1 ， 0)$ 的距离为1，则实数 $r$ 的值为.

查看试题解析
16. 已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 c o s B = \frac{s i n C}{s i n A}$ ， M是 $B C$ 的中点，若 $A M = 2$ ，则 $b + \sqrt{2} c$ 的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ；

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = (- 1)^{n + 1} \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 ${C_{n}}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ．

查看试题解析
18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 是正方形， $A C ⊥$ 侧面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A C = A B$ ，点E是 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C_{1} A$ //平面 $E B A_{1}$ ；

(2)、若 $E F ⊥ B C_{1}$ ，垂足为F，求二面角 $B - A F - A_{1}$ 的正弦值．

查看试题解析
19. 2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
附： $\sqrt{210} = 14.5$ ，
若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

(1)、估计该组数据的中位数、众数；

(2)、由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， 210)$ ， $μ$ 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求 $P (50.5 < Z < 94)$ ；

(3)、在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（ⅰ）得分不低于 $μ$ 可获赠2次随机话费，得分低于 $μ$ 则只有1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
赠送话费(单位：元)
10
20
概率
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}$
现有一位市民要参加此次问卷调查，记 $X$ (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 $X$ 的分布列和数学期望.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A (- 1 ， \frac{3}{2})$ 是椭圆C上一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若M､N为椭圆C上不同于A的两点，且直线 $A M ， A N$ 关于直线 $A F$ 对称，设直线 $M N$ 与y轴交于点 $D (0 ， d)$ ，求d的取值范围.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、当 $a \in R$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $g (x) = l n x - x - l n a$ ，且 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x > 0$ 时恒成立，求实数a的取值范围.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{5}}{5} t ， \\ y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} t \end{array}$ (t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 2 \sqrt{2} ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) - 1$ .

(1)、求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程，并指明曲线 $C$ 的形状；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $| O A | < | O B |$ ，求 $\frac{1}{| O A |} - \frac{1}{| O B |}$ .

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 2 |$
（Ⅰ）若不等式 $f (x) \leq | a + 1 |$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（Ⅱ）求不等式 $| f (x) - | x + 2 | | > 3$ 的解集．

查看试题解析

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

赠送话费(单位：元)	10	20
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$