山东省济南市莱芜区2022年一模数学试题

试卷更新日期：2022-04-15 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -3的倒数是（）

A、 $3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、-3

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2. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 截止2022年2月20日，新冠疫情形势仍然复杂严峻，全球日增新冠确诊超1290000例，将1290000用科学记数法表示为（）

A、 $12.9 \times 1 0^{5}$ B、 $1.29 \times 1 0^{7}$ C、 $1.29 \times 1 0^{6}$ D、 $0.129 \times 1 0^{7}$

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，等腰直角 $△ A B C$ 的两个顶点、分别落在直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 上，AC⊥BC，垂足为点C，若∠1=16°，则∠2的度数是（）

A、34° B、29° C、24° D、19°

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5. 剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、 $a b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $| a - b | = a - b$ D、 $\sqrt{a^{2}} = - a$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $(a^{5})^{2} = a^{7}$ D、 $(- a + 2) (- a - 2) = a^{2} - 4$

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8. 北京冬奥会志愿者参加花样滑冰、短道速滑、冰球、冰壶4个项目的培训．如果小周和小丽每人随机选择参加其中一个项目培训，则他们恰好选到同一个项目进行培训的概率是（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在方格纸的格点上，将 $△ A B C$ 绕着某点顺时针旋转一定的角度后，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则旋转中心的坐标为（）

A、(-1，1) B、(-1，2) C、(1，1) D、(1，-1)

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10. 如图，已知点M是线段AB的中点，点A在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 上，点B在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 上，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE=CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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12. 将抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2}$ 的图象位于直线 $y = - 4$ 以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线 $y = x + m$ 与图象只有四个交点，则m的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 1$ B、 $1 < m < \frac{5}{4}$ C、 $- 1 < m < \frac{5}{4}$ D、 $- 1 < m < \frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ ＝.

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14. 在一个不透明的袋子中装有3个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸出红球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则白球的个数是．

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15. 化简 $\frac{x^{2}}{x + 2} - x + 2$ 的结果是．

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16. 如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则 $∠ B E C =$ ．

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17. 某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为．

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18. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在 $B^{'}$ 处，折痕为HG，连接HE，则 $t a n ∠ E H G =$ ．

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三、解答题

19.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(2022 - \sqrt{3})}^{0} - | - 5 | - 2 c o s 45 °$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x + 3 > 2 (x + 2) \\ \frac{x}{3} - 1 \leq \frac{x - 2}{4} \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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20. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“垃圾分类，从我做起”的活动，志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其3月份垃圾分类投放次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
信息1：垃圾分类投放次数分布表信息
组别
投放次数
频数
A
$0 ≤ x < 5$
a
B
$5 \leq x < 10$
10
C
$10 \leq x < 15$
c
D
$15 \leq x < 20$
14
E
$x ≥ 20$
e
合计
50
信息3：C组包含的数据：12，12，10，12，13，10，11，13，12，11，13．
请结合以上信息完成下列问题：

(1)、统计表中的a= ， e=；

(2)、统计图中B组对应扇形的圆心角为度；

(3)、C组数据的众数是，抽取的50名居民3月份垃圾分类投放次数的中位数是；

(4)、根据调查结果，请你估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数．

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21. 以 $△ A B C$ 的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．

(1)、求证：AB=AC；

(2)、若BE=1， $t a n B = 2$ ，求⊙O的半径．

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22. 如图，某旅游景点新建空中玻璃走廊PD，PD与建筑物AB垂直，在P处测得建筑物顶端A的仰角为37°，测得建筑物C处的仰角为26.6°，PD为54米．图中的点A、B、C、D、P及直线l均在同一平面内．

(1)、求A、C两点的高度差（结果精确到1米）；

(2)、为方便游人，广场从地面l上的Q点新建扶梯PQ，PQ所在斜面的坡度 $i = 1 ： \sqrt{2}$ ， P到地面l的距离PE为10米．一公告牌MN位于EB的中点M处，为防止车辆阻塞，现要求在点Q右侧需留出12米宽的行车道，请判断是否需要挪走公告牌MN，并说明理由．（参考数据： $s i n 26.6 ° \approx 0.45$ ， $t a n 26.6 ° \approx 0.5$ ， $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

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23. 自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年2月份的工资情况信息：
职工
甲
乙
月销售件数（件）
200
180
月工资（元）
6800
6600

(1)、试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？

(2)、若职工丙今年3月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？

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24. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = B C$ ，点P在AB边上， $A P = \frac{1}{3} A B$ ，将线段AP绕点P顺时针旋转至PD，记旋转角为 $α$ ，连接BD，以BD为底边，在线段BD的上方找一点E，使 $∠ B E D = 120 °$ ， ED=EB，连接AD、CE．

(1)、如图1，当旋转角 $α = 180 °$ 时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系；

(2)、当 $0 ° < α < 180 °$ 时，
①如图2，（1）中线段CE与线段AD的数量关系是否还成立？并说明理由．
②如图3，当点A、D、E三点共线时，连接CD，判断四边形CDBE的形状，并说明理由．

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25. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．

(1)、求抛物线的解析式及点D的坐标：

(2)、如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得 $∠ P C B = ∠ D C B$ ，求出P点的坐标：

(3)、点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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组别	投放次数	频数
A	$0 ≤ x < 5$	a
B	$5 \leq x < 10$	10
C	$10 \leq x < 15$	c
D	$15 \leq x < 20$	14
E	$x ≥ 20$	e
合计		50

职工	甲	乙
月销售件数（件）	200	180
月工资（元）	6800	6600