内蒙古通辽市科尔沁区2020-2021学年七年级下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-04-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数中，无理数是（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $| - 2 |$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $π$

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2. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（）

A、3﹣a＜3﹣b B、a+3＜b+3 C、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ D、 $- \frac{a}{3} < - \frac{b}{3}$

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3. 如图，l₁∥l₂ ，点O在直线l₁上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l₂交于A ， B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（）

A、35° B、45° C、55° D、65°

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{9}$ ＝±3 B、 $\sqrt[3]{- 8}$ ＝﹣2 C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ＝﹣3 D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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5. 已知关于x的不等式（2a﹣4）x＞3的解集为x＜ $\frac{3}{2 a - 4}$ ，则a的取值范围是（）

A、a＜0 B、a＞0 C、a＜2 D、a＞2

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6. 通辽市是蒙古民族发祥地之一，是东北地区重要交通枢纽，是国家实施“一带一路”和内蒙古自治区推进向北开放的重要战略节点，以下能准确表示通辽地理位置的是（）

A、东经 $122.27 °$ ，北纬 $43.62 °$ B、在北京的东北方 C、距离北京 $756$ 千米处 D、与辽宁省毗邻

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7. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = m + 4 \\ 2 x + y = m \end{array}$ 的解x、y互为相反数，则m的值为（）

A、1 B、0 C、2 D、﹣2

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8. 下列说法不正确的是（）

A、2020年11月1日起我国开展的第七次全国人口普查采用全面调查的方式进行 B、商家从一批粽子中抽取200个进行质量检测，200是样本 C、反映某市某天24小时内温度变化情况最适合用折线统计图 D、抽样调查中抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度

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9. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每 $3$ 人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”设共有 $x$ 辆车， $y$ 人，则下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x + 2) \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x + 2) \\ y = 2 x - 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 x - 9 \end{array}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的 $R t △ A B O$ 沿 $x$ 轴向右滚动到 $△ A B_{1} C_{1}$ 的位置，再到的位置…依次进行下去，发现 $A (3 ， 0)$ ， $A_{1} (12 ， 3)$ ， $A_{2} (15 ， 0)$ …那么点 $A_{2021}$ 的坐标为（）

A、 $(12129 ， 0)$ B、 $(12129 ， 3)$ C、 $(12132 ， 0)$ D、 $(12132 ， 3)$

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二、填空题

11. 如图， $A$ 是线段 $B C$ 外一点，连接 $A B$ ， $A C$ ，过点 $A$ 作线段 $B C$ 的垂线 $A H$ ，垂足为 $H$ ．在 $A B$ 、 $A C$ 、 $A H$ 这三条线段中， $A H$ 是最短的线段，依据是．

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12. 平面直角坐标系中，点 $M (m - 2 ， m + 3)$ 在 $x$ 轴上，则 $m$ 的值为．

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13. 如图所示，已知 $a / / b$ ， $∠ 1 = 30 °$ ， $∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ 3 =$ °．

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14. 已知二元一次方程 $x - 2 y = 4$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 为．

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15. 不等式 $x + 2 > 3 (a - x)$ 的解集为 $x > 1$ ，则 $a$ 的值为．

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16. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} < 1 - \frac{x - 3}{6} \\ x < m \end{array}$ 的解集是 $x < 3$ ，那么 $m$ 的取值范围是．

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17. 现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若 $b / / c$ ， $a / / c$ ，则 $b / / a$ ；
④若 $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ 2$ 的两边与 $∠ 1$ 的两边分别平行，则 $∠ 2 = 40 °$ 或 $140 °$ ；
⑤若 $b ⊥ c$ ， $a ⊥ c$ ，则 $b / / a$ ．
其中正确的是（填写序号）．

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三、解答题

18. 计算： $- 1^{2} + \sqrt[3]{- 27} + | - 2 | \times \sqrt{9}$ ．

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19. 阅读下面的推理过程，在横线上填写结论或理由．
如图， $A D / / B C$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C D$ 与 $A E$ 相交于 $F$ ， $∠ C F E = ∠ E$ ，那么 $∠ B + ∠ D C B = 180 °$ ．试说明理由．
解： $∠ B + ∠ D C B = 180 °$ ，理由如下：
$∵ A E$ 平分 $∠ B A D$ （已知），
$∴ ∠ 1 = ∠ 2$ （                  ▲                  ）．
$∵ A D / / B C$ （已知），
$∴ ∠ 2 = ∠ E$ （                  ▲                  ）
$∴ ∠ 1 = ∠ E$ （                  ▲                  ）．
又 $∵ ∠ C F E = ∠ E$ （已知），
$∴ ∠ C F E =$                   ▲                  （等量代换）．
$∴ A B / /$                   ▲                  （                  ▲                  ）．
$∴ ∠ B + ∠ D C B = 180 °$ （                  ▲                  ）．

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 2) > x - 2 \\ \frac{2 x - 1}{5} \geq \frac{x - 1}{2} \end{array}$ 并将解集在数轴上表示出来．

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21.

(1)、【发现】
① $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{- 8} = 2 + (- 2) = 0$ ；
② $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{- 1} = 1 + (- 1) = 0$ ；
③ $\sqrt[3]{1000} + \sqrt[3]{- 1000} = 10 + (- 10) = 0$ ；
④ $\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \sqrt[3]{- \frac{1}{64}} = \frac{1}{4} + (- \frac{1}{4}) = 0$ ；
……
根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：．

(2)、【归纳】
等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数 $a$ ， $b$ ，若，则 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ；反之也成立．

(3)、【应用】
根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
若 $\sqrt[3]{3 - 2 x}$ 与 $\sqrt[3]{x + 5}$ 的值互为相反数，求 $- \sqrt{2 x}$ 的值．

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22. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} y = 2 x - 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 13 \\ 4 x - 3 y = 11 \end{array}$

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23. 某中学为提升该校七年级学生假期复习效率，组织了本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和频数分布直方图：

成绩 $x$ /分
频数
百分比
第 $1$ 段
$x < 60$
$2$
$4 %$
第 $2$ 段
$60 \leq x < 70$
$6$
$12 %$
第 $3$ 段
$70 \leq x < 80$
$9$
$b$
第 $4$ 段
$80 \leq x < 90$
$a$
$36 %$
第 $5$ 段
$90 \leq x \leq 100$
$15$
$30 %$
请根据所给信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$ ， $b =$ ，并补全频数分布直方图；

(2)、此次抽样的样本容量是；

(3)、若将抽取的结果绘制成扇形统计图，求成绩在“ $90 \leq x \leq 100$ ”的学生所在扇形的圆心角度数；

(4)、已知该年级有 $600$ 名学生参加测试，估计该年级数学成绩为优秀（ $90$ 分及以上）的人数．

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24. 如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3 ， 3)$ ， $B (- 5 ， 1)$ ， $C (- 2 ， - 1)$ ， $P (a ， b)$ 是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点， $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $P$ 的对应点为 $P_{1} (a + 6 ， b - 2)$ ．

(1)、直接写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、连接 $B B_{1}$ 和 $C C_{1}$ ，则这两条线段之间的关系是；

(3)、连接 $A A_{1}$ ， $A O$ ， $A_{1} O$ ，求 $△ A O A_{1}$ 的面积．

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25. 甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 $100$ 元后，超出 $100$ 元的部分按 $90 %$ 收费；在乙商场累计购物超过 $50$ 元后，超出 $50$ 元的部分按 $95 %$ 收费，如果顾客累计购物超过 $100$ 元．

(1)、写出该顾客到甲、乙两商场购物的实际费用；

(2)、到哪家商场购物花费少？请你用方程和不等式的知识说明理由．

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26. 某工厂现有货物 $35$ 吨，要全部运往灾区支援灾区重建工作，计划要同时租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的货车，一次运送完全部货物，且每辆车均为满载．已知在货车满载的情况下， $3$ 辆 $A$ 型货车和 $1$ 辆 $B$ 型货车一次共运货 $13$ 吨； $2$ 辆 $A$ 型货车和 $3$ 辆 $B$ 型货车一次共运货 $18$ 吨．根据以下信息回答下列问题：

(1)、一辆 $A$ 型车和一辆 $B$ 型车各能满载货物多少吨？

(2)、为了按计划完成本次货物运送，该工厂要同时租用 $A$ 、 $B$ 两种型号的货车各几辆？请列出所有的租车方案．

(3)、若 $A$ 型车每辆需租金 $120$ 元/次， $B$ 型车每辆需租金 $150$ 元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．

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	成绩 $x$ /分	频数	百分比
第 $1$ 段	$x < 60$	$2$	$4 %$
第 $2$ 段	$60 \leq x < 70$	$6$	$12 %$
第 $3$ 段	$70 \leq x < 80$	$9$	$b$
第 $4$ 段	$80 \leq x < 90$	$a$	$36 %$
第 $5$ 段	$90 \leq x \leq 100$	$15$	$30 %$