山西省运城市2021-2022学年高一下学期数学3月阶段性检测试卷（B）

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $\vec{A B} = (3 ， - 4)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、25 B、1 C、5 D、12

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2. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别 $a ， b ， c$ ，若 $a = 1 ， b = 2 ， s i n A = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 4)$ ，则 $2 \vec{a} - 3 \vec{b} =$ （）

A、 $(7 ， - 10)$ B、 $(1 ， 14)$ C、 $(- 7 ， 10)$ D、 $(7 ， 6)$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s A = \frac{c}{b}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知 $t a n (α + β) = 2 ， t a n (α - β) = 3$ ，则 $t a n 2 β =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、-1 C、1 D、 $- \frac{1}{7}$

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、49 B、7 C、 $\sqrt{85}$ D、 $\sqrt{97}$

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7. P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $| \vec{C B} | - | \vec{P B} + \vec{P C} - 2 \vec{P A} | = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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8. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60 °$ ， D是BC中点，且 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $A B + B C$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相等 B、如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，那么 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相等 C、 $\vec{a} + \vec{b} = 2$ D、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $B = 30 ° ， A B = 4 \sqrt{3} ， A C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积可能为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数，若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的图象与直线 $y = 2$ 有且仅有一个交点，则 $ω$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，下列说法中，能保证 $P$ 点轨迹过 $△ A B C$ 重心的是（）

A、 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ B、动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) ， λ \in [0 ， + \infty)$ C、动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\vec{A B} + \vec{A C}) ， λ \in [0 ， + \infty)$ D、点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P C} \cdot \vec{P B} = \vec{P A} \cdot \vec{P C}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (0 ， 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的模为．

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14. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ A = \frac{5 π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (3 ， 4)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{c}) / / \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ B P C = 90 ° ， A B = \sqrt{3} ， B C = 1 ， ∠ A P C = 120 °$ ，求 $t a n ∠ B C P =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\frac{s i n B}{c o s A} = \frac{\sqrt{3} b}{a}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7} ， b = 2$ ，求c．

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18. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知 $A B = 50 m$ ， $B C = 120 m$ ，于A处测得水深 $A D = 80 m$ ，于B处测得水深 $B E = 200 m$ ，于C处测得水深 $C F = 110 m$ ，求 $∠ D E F$ 的余弦值

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (3 ， - 1)$ ．

(1)、若有 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，求 $(λ \vec{a} + \vec{b})^{2}$ 值；

(2)、若 $\vec{c} = (2 ， m)$ ，向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为钝角，求实数m的取值范围．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， D是线段BC上一点，且 $\vec{B D} = \frac{1}{4} \vec{D C}$ ，点M在线段AB上移动（包括端点）．

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求实数 $x - y$ 的值；

(2)、求 $\vec{C M} \cdot \vec{M A}$ 的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系中，已知三点 $A (2 ， 0) ， B (t ， 1) ， C (3 ， t) ， t \in R ， O$ 为坐标原点．

(1)、若 $△ A B C$ 是直角三角形，求 $t$ 的值；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，求 $| \vec{O D} |$ 的最小值．

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22. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满足 $b c o s C + \sqrt{3} b s i n C - a - c = 0$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求锐角 $△ A B C$ 的周长l的取值范围．

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