江苏省南通市如皋市2021-2022学年高一下学期数学教学质量调研试卷（一）

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(6 ， 3)$

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2. 已知 $c o s α + 3 s i n α = 0$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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3. 已知 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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4. 若 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $s i n A =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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5. 已知 $a = (1 + t a n 21 °) (1 + t a n 22 °)$ ， $b = (1 + t a n 23 °) (1 + t a n 24 °)$ ，则（）

A、 $a = b = 2$ B、 $a b = 4$ C、 $a^{2} + b^{2} = 9$ D、 $a^{2} = b^{2} - 2 \sqrt{5}$

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6. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个非零向量，它们的夹角为 $θ$ ， $\vec{e} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $θ$ 为锐角时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(| \vec{a} | c o s θ) \vec{e}$ ； $θ$ 为钝角时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(- | \vec{a} | c o s θ) \vec{e}$ B、当 $θ$ 为锐角时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(| \vec{a} | c o s θ) \vec{b}$ ； $θ$ 为钝角时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(- | \vec{a} | c o s θ) \vec{b}$ C、若存在实数 $λ$ ，使 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |$ ，则一定存在唯一的实数 $λ$ ，使 $\vec{b} = λ \vec{a}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，D为BC中点，F为AD中点，点E满足 $2 \vec{A E} = \vec{E C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{12} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{12} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{5}{12} \vec{A C}$

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8. 《数书九章》是我国南宋时期数学家秦九昭的著作，其中卷五“三斜求积”中提出三角形面积的求法：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”把这段文字用公式表示为： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积， $a ， b ， c$ 分别为 $A ， B ， C$ 的对应边．现有 $△ A B C$ 满足 $a c c o s (A + C) = - 2$ ， $b = 2$ ，则 $S$ 的最大值为（）

A、12 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列等式成立的是（）

A、 ${(s i n 1 5^{∘} - c o s 1 5^{∘})}^{2} = \frac{1}{2}$ B、 $s i n^{2} 22 . 5^{∘} - c o s^{2} 22 . 5^{∘} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $c o s 2 4^{∘} c o s 3 6^{∘} - c o s 6 6^{∘} c o s 5 4^{∘} = \frac{1}{2}$ D、 $s i n 4 0^{∘} (t a n 1 0^{∘} - \sqrt{3}) = - \frac{3}{2}$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (t ， 1)$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ B、与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量一定为 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为 $3$ D、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\sqrt{5} \vec{e}$ （ $\vec{e}$ 为与向量 $\vec{a}$ 同向的单位向量），则 $t = 5$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - 2 s i n x + 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 $s i n^{2} C = s i n B (s i n A + s i n B)$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $c > b$ B、 $a > c$ C、 $c = 2 b c o s B$ D、 $0 < B < \frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 化简 $\sqrt{2 + c o s \frac{π}{9} - s i n^{2} \frac{π}{18}} =$ ．

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14. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位向量，它们的夹角为60，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 若 $c o s 2 α = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ， $β \in (- π ， - \frac{π}{2})$ ，则 $α + β =$ ．

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16. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东 $2 \sqrt{3}$ km/h．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于对岸B（AB与河岸的方向垂直）的正西方向并且与B相距 $250 \sqrt{3}$ m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船的速度（自身动力产生的速度）的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，航行的合速度方向与正西方向的夹角为，小货船的速度大小为km/h．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，它们的夹角为120．

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数k的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $b = 13$ ， $∠ A = 3 0^{∘}$ ，

(1)、若 $c = 12$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = 7$ ，求 $s i n C$ 及 $c$ ．

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19. 已知 $x \in R$ ，向量 $\vec{m} = (c o s^{2} x ， 1)$ ， $\vec{n} = (2 ， \sqrt{3} s i n 2 x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $f (A) = 1$ ，若 $D$ 为边 $A C$ 的中点， $c = 2$ ，且_____，求 $B D$ 的长．（从① $c o s C = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ；② $B C = 2 \sqrt{7}$ ；③ $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）

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20. 已知 $s i n α + c o s β = 1$ ， $c o s α + s i n β = 0$ ，求

(1)、 $s i n (α + β)$ ；

(2)、 $s i n (α - β)$ ．

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21. 在△ABC中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ， O是 $△ A B C$ 的外接圆圆心，若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ．

(1)、求 $\vec{A O} \cdot \vec{A B}$ 及 $| \vec{A O} |$ ；

(2)、求 $λ$ ， $μ$ ．

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22. 如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形 $P E M N$ 建成停车场，另一块为直角三角形 $O Q F$ 建成休闲区（ $∠ O F Q = \frac{π}{2}$ ），它们的面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ；同时，为了保护景点水域，限定扇形 $P O Q$ 必须为四分之一圆，不作其它开发．已知 $O$ 为圆心，直径 $A D$ 为 $200 m$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在弧 $A B$ 、 $C D$ 上（均不含端点），且点 $E$ 、 $F$ 分别在 $O B$ 、 $O D$ 上，点 $M$ 和 $N$ 在 $O A$ 上， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $∠ C O D = \frac{π}{2}$ ，记 $∠ A O P = α$ ．

(1)、求 $S_{1}$ 的最大值，并指出相应的 $α$ 值；

(2)、为了给旅游主管部门提供决策依据，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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