湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (m^{2} ， m + 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、1 C、-2或1 D、-1或2

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2. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、-1 B、 $- \sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a $= \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{sin B + sin C}$ 等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a， $b$ ， c，已知 $A = 60 °$ ， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 4 \sqrt{2}$ ，则 $B =$ （）

A、135° B、45° C、45°或135° D、以上都不对

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5. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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6. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = (1 ， - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ =2 D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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7. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{a}{\sin A}$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ ， $a^{2} + b^{2} = 68$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 设 $P$ 是 $△ A B C$ 内部一点，且 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} = - 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，定义 $f (P) = (m ， n ， k)$ （其中 $m$ 、 $n$ 、 $k$ 分别是 $△ P A B$ 、 $△ P A C$ 、 $△ P B C$ 的面积），现已知 $f (P) = (\frac{1}{4} ， x ， y)$ ，则 $\frac{4 x + y}{x y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{27}{4}$ B、9 C、 $\frac{21}{2}$ D、12

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二、多选题

9. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的有（）

A、 $s i n 7 ° c o s 23 ° + s i n 83 ° c o s 67 °$ B、 $\frac{1}{s i n 50 °} + \frac{\sqrt{3}}{c o s 50 °}$ C、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °}$ D、 $\frac{1}{(1 + t a n 22 °) (1 + t a n 23 °)}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12}]$ 上单调递减 C、将函数 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象 D、若 $f (x) - a > f (\frac{π}{6})$ 对任意的 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立，则 $a < - 1$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(b + c) : (c + a) : (a + b) = 4 : 5 : 6$ ，下列结论正确的是（）

A、 $s i n A : s i n B : s i n C = 7 : 5 : 3$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ C、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $15 \sqrt{3}$ D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别是边 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 中点，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{0}$ B、 $\vec{D A} + \vec{E B} + \vec{F C} = \vec{0}$ C、若 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{\sqrt{3} \vec{A D}}{| \vec{A D} |}$ ，则 $\vec{B D}$ 是 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 的投影向量 D、若点P是线段AD上的动点，且满足 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$

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三、填空题

13. 求值： $s i n 70 ° s i n 50 ° + c o s 110 ° s i n 40 ° =$ ．

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14. 已知 $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ， $\vec{O B} = (- 2 ， - 1)$ ，若 $2 \vec{A P} = \vec{A B}$ ，则 $| \vec{O P} | =$ .

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15. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $4 c^{2} = 3 b^{2}$ ， $\frac{s i n A}{s i n C} = \frac{\sqrt{39}}{3}$ ，则 $A =$ .

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16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形 $($ 此等边三角形称为拿破仑三角形 $)$ 的顶点．”已知 $△ A B C$ 内接于半径为 $\sqrt{6}$ 的圆，以 $B C ， A C ， A B$ 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'} .$ 若 $∠ A C B = 3 0^{∘}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积最大值为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2) ， \vec{c} = (1 ， 1)$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的大小；

(2)、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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18. 已知 $f (θ) = \frac{c o s (π + θ) \cdot c o s (\frac{π}{2} - θ)}{s i n (2 π - θ)}$ ．

(1)、若 $f (θ) = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s 2 θ$ 的值；

(2)、若 $f (θ - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{6} < θ < \frac{2 π}{3}$ ，求 $s i n θ$ 的值．

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{D B} = 2 \overset{⇀}{A D}$ ， $\overset{⇀}{C E} = 2 \overset{⇀}{E B}$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{D E}$ 的值．

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20. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $b - a c o s C = \frac{\sqrt{3}}{3} a s i n C$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为6，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s (x - \frac{π}{6}) + c o s 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + a$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 有且仅有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 如图在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，满足 $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ．

(1)、若 $∠ B = \frac{π}{3}$ ，求 $∠ A C D$ 的余弦值；

(2)、点M是线段CD上一点，且满足 $\vec{A M} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $| \vec{A M} |$ 的最小值．

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