河南省南阳市六校2021-2022学年高一下学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 计算 $t a n (- 240 °)$ 的结果等于（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 已知集合 $A = {α ∣ α = \frac{π}{3} + k π ， k \in Z} ， B = {β ∣ β = \frac{2 π}{3} + \frac{k π}{3} ， k \in Z}$ ，下列描述正确的是（）

A、 $A ∩ B = A$ B、 $A ∩ B = B$ C、 $A ∩ B = \emptyset$ D、以上选项都不对

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3. 函数 $f (x) = l n (1 + 2 c o s 2 x)$ 的定义域是（）

A、 $(- \frac{2 π}{3} + k π ， \frac{2 π}{3} + k π) (k \in Z)$ B、 $(- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{3} + k π) (k \in Z)$ C、 $(- \frac{2 π}{3} + 2 k π ， \frac{2 π}{3} + 2 k π) (k \in Z)$ D、 $(- \frac{π}{3} + 2 k π ， \frac{π}{3} + 2 k π) (k \in Z)$

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4. 已知 $s i n (\frac{π}{12} + α) = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (\frac{7 π}{12} + α)$ 的值等于（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 对于四个函数 $y = | s i n x |$ ， $y = | c o s x |$ ， $y = s i n | x |$ ， $y = t a n | x |$ ，下列说法错误的是（）

A、 $y = | s i n x |$ 不是奇函数，最小正周期是 $π$ ，没有对称中心 B、 $y = | c o s x |$ 是偶函数，最小正周期是 $π$ ，有无数多条对称轴 C、 $y = s i n | x |$ 不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴 D、 $y = t a n | x |$ 是偶函数，最小正周期是 $π$ ，没有对称中心

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6. 函数 $y = \frac{c o s x + 1}{2 c o s x - 1}$ 的值域是（）

A、 $(- ∞ ， 0] ∪ [4 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， 0] ∪ [2 ， + ∞)$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $[0 ， 2]$

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7. 铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（）

A、 $\frac{2}{\tan 18 °}$ B、 $\frac{1}{2 \tan 18 °}$ C、 $\frac{5}{π}$ D、 $\frac{π}{5}$

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8. 有以下四种变换方式：
①向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ；②向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度；④每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度.
其中能将函数 $y = c o s x$ 的图象变为函数 $y = c o s (\frac{π}{4} - 2 x)$ 的图象的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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9. 函数 $y = t a n x + s i n x + | t a n x - s i n x |$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 内的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知一扇形的周长为 $6 a (a > 0)$ ，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、1 D、2

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ ， $g (x) = 2 t a n (\frac{π}{2} x) + 2$ ，若两函数图象在某一确定区间 $[2 - t ， t] (t > 2)$ 内共有 $A_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， A_{2} (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， A_{m} (x_{m} ， y_{m}) m$ 个交点，则 $a = \sum_{i = 1}^{m} x_{i} ， b = \sum_{i = 1}^{m} y_{i}$ 的值分别为（）

A、 $a = m ， b = m$ B、 $a = m ， b = 2 m$ C、 $a = 2 m ， b = m$ D、 $a = 2 m ， b = 2 m$

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12. 已知 $a = \frac{1}{3} ， b = s i n \frac{1}{3} ， c = c o s \frac{1}{2} ， d = t a n \frac{1}{2}$ ，则 $a ， b ， c ， d$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c < d$ B、 $a < b < c < d$ C、 $b < a < d < c$ D、 $a < b < d < c$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 $\frac{π}{12}$ 和 $\frac{7 π}{12}$ ，图象与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $\sqrt{3}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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14. 如图，已知扇环（注：扇环是一个圆环被扇形截得的一部分） $A_{1} B_{1} B A$ 中弧 $A_{1} B_{1}$ 长为 $\frac{π}{2}$ ，弧 $A B$ 长为 $\frac{3 π}{4}$ ，线段 $A_{1} A$ 长为 $1$ ， $O$ 为圆心，则 $∠ A O B =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x s i n 2 θ - 2$ 在区间 $[- 1 ， \sqrt{3}]$ 上不是单调函数，且 $θ \in [- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ ，则 $θ$ 的取值范围是.

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16. 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f (x) = [x] - x + s i n x ， x \in [- 1 ， π]$ 的零点有个.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a c o s (ω x - \frac{π}{3}) + b (a > 0 ， ω > 0)$ 的最大值为1，最小值为 $- 3$ ，最小正周期为 $π$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间.

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18. 如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P ， Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\frac{3 s i n α - 2 c o s α}{2 s i n α + 3 c o s α}$ 的值；

(2)、若 $O P ⊥ O Q$ ，求 $s i n β c o s β$ 的值.

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19. 已知某半径小于 $π$ 的扇形 $O A B$ ，其周长是 $6 + 2 π$ ，面积是 $3 π$ .

(1)、求该扇形的圆心角的弧度数；

(2)、求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 t a n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为2，其图象过点 $(1 ， 2 \sqrt{3})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和对称中心；

(2)、请指出函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = t a n x$ 的图象经过怎样的变换得到.

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是一块边长为 $2 m$ 的正方形铁皮，其中扇形 $A M P N$ 的半径为 $1.8 m$ ，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用， $P$ 是 $\overset{⌢}{M N}$ 弧上一点， $∠ P A B = θ$ ，工人师傅想在末被腐蚀部分截下一个边在 $B C$ 与 $C D$ 上的矩形铁皮.

(1)、将矩形铁皮 $P Q C R$ 的面积 $S (m^{2})$ 表示为 $θ$ 的函数，并写出 $θ$ 的取值范围；

(2)、当 $∠ P A B = θ$ 的值取多少时，矩形铁皮 $P Q C R$ 的面积 $S (m^{2})$ 有最大值.附加公式： $s i n α + c o s α = \sqrt{2} s i n (α + \frac{π}{4}) (α \in R)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 2$ ， $g (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，且 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上单调递增.

(1)、若 $g (x) \geq g (- \frac{2 π}{3})$ 恒成立，求 $ω$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，若当 $x_{1} \in [0 ， 2]$ 时，总有 $x_{2} \in [0 ， \frac{4 π}{3}]$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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